中心力

平面极坐标系

角动量守恒定律有一个重要的结论：所有运动都发生在一个平面内。因此使用平面极坐标系而不是笛卡尔坐标系会更有利于对中心力的分析。

首先，旋转笛卡尔坐标系使得角动量指向 $+z$ 轴，所有的运动将发生在 $(x,y)$ 平面内。然后，定义极坐标与笛卡尔坐标的转化：

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$

这是从极坐标 $(r,\theta )$ 到笛卡尔坐标 $(x,y)$ 的标准转化公式。

引入两个单位向量 $\hat{\mathbf{r}}$ 和 $\hat{\mathit{\theta }}$，分别指向 $r$ 和 $\theta$ 增加的方向，如图所示。在笛卡尔坐标形式下，这些向量为：

$$\hat{\mathbf{r}}=\left(\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right),\hat{\mathit{\theta }}=\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)$$

这两个向量在平面中的每一个点都构成一个正交标准基 (orthonormal basis)。但这个基底本身依赖于所处的角度 $\theta$。质点沿着径向移动不会改变基底，但沿着角度方向移动时，有：

$$\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{r}}}{\mathrm{d}\theta }=\left(\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right)=\hat{\mathit{\theta }},\frac{\mathrm{d}\hat{\mathit{\theta }}}{\mathrm{d}\theta }=\left(\begin{array}{c}-\cos \theta \\ -\sin \theta \end{array}\right)=-\hat{\mathbf{r}}$$

相反，笛卡尔坐标系中的单位基底 $(\hat{\mathbf{i}},\hat{\mathbf{j}})$ 是全局固定的

在平面极坐标系中，运动学中的基本量位置、速度和加速度可以表示如下：

位置

$$\mathbf{x}=r\hat{\mathbf{r}}$$

速度

$$\begin{array}{rl}\dot{\mathbf{x}}& =\dot{r}\hat{\mathbf{r}}+r\dot{\hat{\mathbf{r}}}\\ & =\dot{r}\hat{\mathbf{r}}+r\frac{\mathrm{d}\hat{\mathbf{r}}}{\mathrm{d}\theta }\dot{\theta }\\ & =\dot{r}\hat{\mathbf{r}}+r\dot{\theta }\hat{\mathit{\theta }}\end{array}$$

加速度

$$\begin{array}{rl}\ddot{\mathbf{x}}& =\ddot{r}\hat{\mathbf{r}}+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\mathit{\theta }}+\dot{r}\dot{\theta }\hat{\mathit{\theta }}+r\ddot{\theta }\hat{\mathit{\theta }}+r\dot{\theta }(-\hat{\mathbf{r}})\dot{\theta }\\ & =(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{\mathbf{r}}+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\hat{\mathit{\theta }}\end{array}$$

其中，$\dot{\theta }$ 被称为角速率。

因此，平面极坐标系下的运动学方程组的表达式为：

物理量	表达式
位置	$\mathbf{x}=r\hat{\mathbf{r}}$
速度	$\dot{\mathbf{x}}=\dot{r}\hat{\mathbf{r}}+r\dot{\theta }\hat{\mathit{\theta }}$
加速度	$\ddot{\mathbf{x}}=(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{\mathbf{r}}+(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\hat{\mathit{\theta }}$

中心力

中心力的势能函数可以写作 $V(\mathbf{x})=V(r)$，即势能仅依赖于质点到中心的距离。这说明该力场具有径向对称性，属于保守中心力场。

由势能函数可以得到力的表达式：

$$\mathbf{F}=-\mathrm{\nabla }V=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\hat{\mathbf{r}}$$

使用上述介绍的平面极坐标系来表示动力学方程 $m\ddot{\mathbf{x}}=\mathbf{F}$：

$$m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)\hat{\mathbf{r}}+m(r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta })\hat{\mathit{\theta }}=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\hat{\mathbf{r}}$$

注意到中心力的大小不依赖于角度 $\theta$，因此有：

$$r\ddot{\theta }+2\dot{r}\dot{\theta }=0⟹\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(r^2\dot{\theta })=0$$

从中可以得到一个守恒量：

$$l=r^2\dot{\theta }$$

另一方面，从角动量的定义出发，在极坐标系中也可以得到相同的守恒量：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{L}& =m\mathbf{x}\times \dot{\mathbf{x}}\\ & =m(r\hat{\mathbf{r}})\times (\dot{r}\hat{\mathbf{r}}+r\dot{\theta }\hat{\mathit{\theta }})\\ & =mr[\dot{r}\underset{=\mathbf{0}}{\underbrace{\hat{\mathbf{r}}\times \hat{\mathbf{r}}}}+r\dot{\theta }\underset{=\hat{\mathbf{L}}}{\underbrace{\hat{\mathbf{r}}\times \hat{\mathit{\theta }}}}]\\ & =m{r}^2\dot{\theta }\hat{\mathbf{L}}\end{array}$$

因此，角动量的大小为：

$$|\mathbf{L}|=ml$$

其中，$l$ 被称为单位质量的角动能大小。

重新回到动力学方程的径向分量：

$$m(\ddot{r}-r{\dot{\theta }}^2)=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}$$

将 $l=r^2\dot{\theta }$ 代入上式，得到：

$$m\ddot{r}=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}+\frac{m{l}^2}{r^3}$$

上式可写为：

$$m\ddot{r}=-\frac{\mathrm{d}{V}_{\text{eff}}}{\mathrm{d}r}$$

其中，$V_{\text{eff}}(r)$ 被称为有效势 (effective potential)，表达式为：

$$V_{\text{eff}}(r)=V(r)+\frac{m{l}^2}{2r^2}$$

有效势是理论物理中一个非常重要的概念，它的核心思想是：通过引入一个新的势能函数，把一个多维度复杂系统的动力学问题简化成一维问题来分析。

上式中额外的项 $m{l}^2/2r^2$ 被称为角动量势垒 (angular momentum barrier)，它反映了角动量对径向运动的阻碍作用。

有效势能

有效势能可以被视为系统总能量的一部分：

$$\begin{array}{rl}E& =\frac{1}{2}m\dot{\mathbf{x}}\cdot \dot{\mathbf{x}}+V(r)\\ & =\frac{1}{2}m(\dot{r}\hat{\mathbf{r}}+r\dot{\theta }\hat{\mathit{\theta }})\cdot (\dot{r}\hat{\mathbf{r}}+r\dot{\theta }\hat{\mathit{\theta }})+V(r)\\ & =\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{1}{2}m{r}^2{\dot{\theta }}^2+V(r)\\ & =\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+\frac{m{l}^2}{2r^2}+V(r)\\ & =\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+V_{\text{eff}}(r)\end{array}$$

上述表达式说明，系统总能量 $E$ 可视为径向运动的动能加上有效势能 $V_{\text{eff}}(r)$。由于中心力是保守的，总能量 $E$ 在运动过程中保持恒定。即：

$$E=\text{constant}$$

这意味着径向运动满足一维势能问题的形式：

$$\frac{1}{2}m{\dot{r}}^2+V_{\text{eff}}(r)=E$$

从中可以看出，质点在有效势能曲线 $V_{\text{eff}}(r)$ 上的“势阱”中来回运动，类似于在一维势能井中振荡的小球。

示例

匀速圆周运动

使用平面极坐标系来描述匀速圆周运动。

当一个质点作匀速圆周运动时，满足：

• $\dot{r}=0$，径向距离始终等于圆半径。
• $\dot{\theta }=\omega$，角速度为匀速。

于是，运动学方程组为：

$$\{\begin{array}{rl}\mathbf{x}& =r\hat{\mathbf{r}}\\ \dot{\mathbf{x}}& =r\omega \hat{\mathit{\theta }}\\ \ddot{\mathbf{x}}& =-r{\omega }^2\hat{\mathbf{r}}\end{array}$$