刚体的平动与转动

刚体

刚体是理想化的物体模型，其内部各质点之间的相对距离在运动过程中保持不变。也就是说，刚体在受到外力或力矩作用时，形状和尺寸均不发生变化。

用更严格的话来说，刚体满足：

$$|{\mathbf{r}}_i-{\mathbf{r}}_j|=\text{constant}$$

其中，${\mathbf{r}}_i$ 和 ${\mathbf{r}}_j$ 分别表示刚体中任意两质点的位置矢量。

刚体的这一特性使得其运动可分解为平移和绕某轴的旋转，极大地简化了力学分析。

平动

质心

质心（center of mass）是描述一个系统整体质量分布的等效点。当一个物体由多个质点组成，且其形状、尺寸和转动对研究问题的影响可以忽略时，我们可以将该物体简化为一个质量全部集中于质心的点，从而更方便地分析其运动。

对于一组质点，其质心的位置向量为：

$${\mathbf{r}}_{\text{cm}}=\frac{1}{M}\sum _i{m}_i{\mathbf{r}}_i$$

其中，$M=\sum _i{m}_i$。

基本关系汇总

物理量名称	表达式
运动学方程组	$\begin{array}{rl}{\mathbf{r}}_{\text{cm}}& ={\mathbf{r}}_{\text{cm}}(t)\\ {\mathbf{v}}_{\text{cm}}& =\frac{\mathrm{d}{\mathbf{r}}_{\text{cm}}}{\mathrm{d}t}={\dot{\mathbf{r}}}_{\text{cm}}(t)\\ {\mathbf{a}}_{\text{cm}}& =\frac{{\mathrm{d}}^2{\mathbf{r}}_{\text{cm}}}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{\mathrm{d}{\mathbf{v}}_{\text{cm}}}{\mathrm{d}t}={\ddot{\mathbf{r}}}_{\text{cm}}(t)\end{array}$
动力学方程	$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}{\mathbf{p}}_{\text{cm}}}{\mathrm{d}t}& =\mathbf{F}\\ M{\mathbf{a}}_{\text{cm}}& =\mathbf{F}\end{array}$
动能	$T_{\text{tans}}=\frac{1}{2}M({\mathbf{v}}_{\text{cm}}{)}^2$
动量	${\mathbf{p}}_{\text{cm}}=M{\mathbf{v}}_{\text{cm}}$

转动

刚体绕某轴旋转时，其内所有质点具有相同的角速度。

惯性矩

惯性矩（moment of inertia）是描述物体对转动阻抗大小的物理量，类似于质点运动中“质量”的概念。它反映了物体的质量如何分布相对于转轴的位置。对于刚体绕固定轴旋转，其惯性矩定义为：

$$I=\sum _i{m}_i{r}_i^2$$

其中，$r_i$ 是第 $i$ 个质点到转轴的垂直距离，$m_i$ 是其质量。

此处我们只讨论绕固定轴旋转时的标量惯性矩，暂不涉及更一般情形下的矢量形式（即惯性张量）的介绍。

基本关系汇总

物理量名称	表达式
角运动学方程组	$\begin{array}{rl}\theta (t)& =\theta (t)\\ \omega (t)& =\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}=\dot{\theta }(t)\\ \alpha (t)& =\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}=\ddot{\theta }(t)\end{array}$
动力学方程	$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}& =\mathit{\tau }\\ I\alpha & =\tau \end{array}$
转动动能	$T_{\text{rot}}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$
角动量	$L=I\omega$

示例

各种物体的惯性矩