质点动力学

牛顿运动定律

N1： Every particle remains at rest, or moves with constant speed in a straight line, unless acted upon by a force.

惯性参考系是存在的，且在惯性参考系中：

$$\text{if}\mathbf{F}=\mathbf{0}\text{then}\ddot{\mathbf{x}}=\mathbf{0}$$

伽利略相对论

惯性参考系不是唯一的。给定一个惯性参考系 $S$，一个质点在其中的位置为 $\mathbf{x}(t)$，我们可以构建一个新的惯性参考系 $S^{\prime }$，该质点在其中的新位置 ${\mathbf{x}}^{\prime }(t)$ 可以通过以下伽利略变换的组合得到：

• Translations: ${\mathbf{x}}^{\prime }=\mathbf{x}+a$, for constant $\mathbf{a}$.

There is no special point in the Universe.

• Rotations: ${\mathbf{x}}^{\prime }=R\mathbf{x}$, for a $3\times 3$ matrix $R$ obeying $R^{T}R=I$.

There is no special direction in the Universe.

• Boosts: ${\mathbf{x}}^{\prime }=\mathbf{x}+\mathbf{v}t$, for a constant velocity $\mathbf{v}$.

There is no special velocity in the Universe.

这三种变换共同构成了伽利略群，体现了物理定律在不同惯性系中的等价性。

N2： The rate of change of momentum of a particle is equal (in magnitude and direction) to the force on the particle.

牛顿第二定律的数学表达式为：

$$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(m\dot{\mathbf{x}})=\mathbf{F}(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}})$$

上式被称为质点的动力学方程。括号中的内容被称为动量 (monmentum)：

$$\mathbf{p}=m\dot{\mathbf{x}}$$

在大多数情况下，质点的质量不随时间变化。动力学方程又可以表示为：

$$m\ddot{\mathbf{x}}=\mathbf{F}(\mathbf{x},\dot{\mathbf{x}})$$

N3： To every action on a particle, there is an equal and opposite reaction.

$${\mathbf{F}}_{12}=-{\mathbf{F}}_{21}$$

链式法则

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{f}\cdot \mathbf{g})& =\frac{\mathrm{d}\mathbf{f}}{\mathrm{d}t}\cdot \mathbf{g}+\mathbf{f}\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{g}}{\mathrm{d}t}\\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{f}\times \mathbf{g})& =\frac{\mathrm{d}\mathbf{f}}{\mathrm{d}t}\times \mathbf{g}+\mathbf{f}\times \frac{\mathrm{d}\mathbf{g}}{\mathrm{d}t}\end{array}$$

动量守恒定律

If the vector sum of the external forces on a system is zero, the total momentum of the system is constant.

如果一个封闭系统所受到的所有外力的矢量和为零，那么该系统的总动量是一个常数。

用数学语言表示为：

$$\text{if}\mathbf{F}=\mathbf{0}\text{then}\dot{\mathbf{p}}=0$$

简要证明：

假设在一个封闭系统中有两个物体，质量分别为 $m_1,m_2$，它们之间只有内力的作用，合外力为零。对每个物体应用牛顿第二定律：

$$\begin{array}{r}{\mathbf{F}}_{12}=\frac{\mathrm{d}{\mathbf{p}}_1}{\mathrm{d}t}\\ {\mathbf{F}}_{21}=\frac{\mathrm{d}{\mathbf{p}}_2}{\mathrm{d}t}\end{array}$$

根据牛顿第三定律：

$${\mathbf{F}}_{12}+{\mathbf{F}}_{21}=\mathbf{0}$$

因此：

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{F}}_{12}+{\mathbf{F}}_{21}& =\frac{\mathrm{d}{\mathbf{p}}_1}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}{\mathbf{p}}_2}{\mathrm{d}t}\\ & =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}({\mathbf{p}}_1+{\mathbf{p}}_2)\\ & =\dot{\mathbf{p}}=0\end{array}$$

角动量守恒定律

在动量的定义的基础上，定义质点的角动量 (angular momentum) 为：

$$\mathbf{L}=\mathbf{r}\times \mathbf{p}$$

其中，$\mathbf{r}$ 是质点相对于参考点 (origin) 的位置矢量，符号 $\times$ 为矢量叉乘运算，$\mathbf{p}$ 为质点的动能。

角动量对时间求导，得到牛顿第二定律的形式：

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}& =\dot{\mathbf{r}}\times \mathbf{p}+\mathbf{r}\times \dot{\mathbf{p}}\\ & =\mathbf{r}\times \mathbf{F}\end{array}$$

这个量也称为力矩（torque / moment of force），记作：

$$\mathit{\tau }=\mathbf{r}\times \mathbf{F}$$

角动量守恒定律的简单证明：

$$\frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}=m\mathbf{r}\times \ddot{\mathbf{r}}=-\mathbf{r}\times \mathrm{\nabla }V=\mathbf{0}$$

合外力矩为零，因此 $\mathrm{\nabla }V$ 与 $\mathbf{r}$ 平行，上式成立。

角动量守恒定律有一个重要的结论：所有运动都发生在一个平面内。这是因为角动量矢量 $\mathbf{L}$ 是一个固定且不变的矢量，并且满足条件：

$$\mathbf{L}\cdot \mathbf{x}=0$$

所以质点的位置始终位于与 $\mathbf{L}$ 垂直的平面内。同理，

$$\mathbf{L}\cdot \dot{\mathbf{x}}=0$$

质点的速度也在同一个平面内。通过这个推理，三维运动的动力学被简化为平面上的动力学。

功和动能

功 (work) 是用来定量描述力对物体所做能量转移的物理量，可以简单理解为力在空间上的积累效应。其数学表达式为：

$$W={\int }_C\mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{x}={\int }_{t_1}^{t_2}\mathbf{F}\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}t$$

根据牛顿第二定律，代入公式 $\mathbf{F}=m\ddot{\mathbf{x}}$ 得：

$$W=m{\int }_{t_1}^{t_2}\ddot{\mathbf{x}}\cdot \dot{\mathbf{x}}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}m{\int }_{t_1}^{t_2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\dot{\mathbf{x}}\cdot \dot{\mathbf{x}})\mathrm{d}t=T(t_2)-T(t_1)$$

其中，$T$ 表示动能 (kinetic energy)：

$$T=\frac{1}{2}m\dot{\mathbf{x}}\cdot \dot{\mathbf{x}}$$

保守力和势能

保守力是指其所做的功仅依赖于路径的起点和终点，与路径的具体形式无关的力。保守力满足以下条件：

$$W=\oint \mathbf{F}\cdot \mathrm{d}\mathbf{x}=0$$

若某个力 $\mathbf{F}(\mathbf{x})$ 是保守的，则必然存在一个对应的势能函数 $V(\mathbf{x})$，满足以下关系：

$$\mathbf{F}(\mathbf{x})=-\mathrm{\nabla }V(\mathbf{x})$$

在大多数情况下，质点的质量不随时间变化，因此有：

$$m\ddot{\mathbf{x}}=-\mathrm{\nabla }V(\mathbf{x})$$

势能的定义可选定参考点 ${\mathbf{x}}_0$，通常取 $V({\mathbf{x}}_0)=0$，因此有：

$$V(\mathbf{x})=-{\int }_{{\mathbf{x}}_0}^{\mathbf{x}}\mathbf{F}({\mathbf{x}}^{\prime })\cdot \mathrm{d}{\mathbf{x}}^{\prime }$$

功和势能的关系满足：

$$W_{12}=T_2-T_1=V_1-V_2=-V_{12}$$

机械能守恒定律

对于保守系统 (conservative system) 的运动而言，存在一个被称为机械能 (mechanical energy) 的守恒量，其数学表达式为：

$$E=T+V$$

其中，$T(\dot{\mathbf{x}})$ 为动能 (kinetic energy)，$V(\mathbf{x})$ 为势能 (potential energy)。

$T,V$ 有时候也被表示为 $K,U$。

所谓“保守”，意味着系统的总能量在时间演化中保持不变，即有：

$$\dot{E}=0$$

机械能守恒的简单证明：

$$\begin{array}{rl}\dot{E}& =\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}\mathbf{x}}\cdot \frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}\\ & =m\dot{\mathbf{x}}\ddot{\mathbf{x}}+\mathrm{\nabla }V\cdot \dot{\mathbf{x}}\\ & =\dot{\mathbf{x}}(m\ddot{\mathbf{x}}+\mathrm{\nabla }V)\\ & =0\end{array}$$

补充

质点在势能场中的运动

尽管动力学方程 $m\ddot{\mathbf{x}}=-\mathrm{\nabla }V(\mathbf{x})$ 是一个二阶微分方程，但我们可以通过机械能守恒将其转化为一阶微分方程的形式：

$$E=\frac{1}{2}m{\dot{\mathbf{x}}}^2+V(\mathbf{x})⟹\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\pm \sqrt{\frac{2}{m}(E-V(\mathbf{x}))}$$

通过积分，可以得到其形式解为：

$$t-t_0=\pm {\int }_{{\mathbf{x}}_0}^{\mathbf{x}}\frac{\mathrm{d}{\mathbf{x}}^{\prime }}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-V({\mathbf{x}}^{\prime }))}}$$

中心力

一种特别重要的势能类型是那些只依赖于到某个固定点，称作原点，的距离的势能：

$$V(\mathbf{x})=V(r)\text{, where }r=|\mathbf{x}|$$

由此产生的力的大小也只取决于到原点的距离，并且方向也总是指向原点：

$$\mathbf{F}(r)=-\mathrm{\nabla }V(r)=-\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\hat{\mathbf{x}}$$

如果 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)$，那么 $r^2=x_1^2+x_2^2+x_3^2$，从中通过计算可得：

$$\frac{\partial r}{\partial x_i}=\frac{x_i}{r}\text{, for }i=1,2,3$$

于是：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{\nabla }V(r)& =(\frac{\partial V}{\partial x_1},\frac{\partial V}{\partial x_2},\frac{\partial V}{\partial x_3})\\ & =(\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\frac{\partial r}{\partial x_1},\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\frac{\partial r}{\partial x_2},\frac{\partial V}{\mathrm{d}r}\frac{\partial r}{\partial x_3})\\ & =\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}(\frac{x_1}{r},\frac{x_2}{r},\frac{x_3}{r})\\ & =\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}r}\hat{\mathbf{x}}\end{array}$$

碰撞

碰撞类型	是否动量守恒	是否动能守恒	碰撞后物体是否结合
弹性碰撞	✅是	✅是	❌否
非弹性碰撞（部分弹性）	✅是	❌否	❌否
完全非弹性碰撞	❌否	❌否	✅是

有两个物体发生碰撞。假设物体的质量分别为 $m_1,m_2$，碰撞前的速度分别为 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$，碰撞后的速度分别为 ${\mathbf{v}}_1^{\prime },{\mathbf{v}}_2^{\prime }$。那么：

• 动量守恒：

$$m_1{\mathbf{v}}_1+m_2{\mathbf{v}}_2=m_1{\mathbf{v}}_1^{\prime }+m_2{\mathbf{v}}_2^{\prime }$$

• 动能守恒：

$$\frac{1}{2}{m}_1|{\mathbf{v}}_1{|}^2+\frac{1}{2}{m}_2|{\mathbf{v}}_2{|}^2=\frac{1}{2}{m}_1|{\mathbf{v}}_1^{\prime }{|}^2+\frac{1}{2}{m}_2|{\mathbf{v}}_2^{\prime }{|}^2$$

• 碰撞后结合：

$$m_1{\mathbf{v}}_1+m_2{\mathbf{v}}_2=(m_1+m_2){\mathbf{v}}^{\prime }$$

示例

均匀引力场

在均匀引力场中，我们通常只需关注竖直方向上的力。此时，质点受到竖直方向的恒力 $F=-mg$，其中 $g\approx 9.8m/s^2$ 是接近地球表面时的重力加速度。通常约定地面的高度为 $z=0$，地面的势能为 $V(0)=0$；向上为正方向 $+z$，向下为负方向 $-z$。重力的方向向下，因此 $F$ 取负号。重力势能的函数表达式为：

$$V(z)=mgz$$

根据公式 $m\ddot{\mathbf{x}}=-\mathrm{\nabla }V(\mathbf{x})$，得到质点的动力学方程为：

$$\ddot{z}=-g$$

对其进行积分得：

$$\dot{z}=u-gt$$

其中，$u$ 代表质点在 $t=0$ 时的初速度。

再次进行积分得：

$$z=z_0+ut-\frac{1}{2}g{t}^2$$

其中，$z_0$ 代表质点在 $t=0$ 时的初始高度。

综上，我们从重力势能函数 $V(z)=mgz$ 中推导出下列运动学方程组来描述质点在均匀引力场中的运动：

$$\{\begin{array}{rl}z& =z_0+ut-\frac{1}{2}g{t}^2\\ \dot{z}& =u-gt\\ \ddot{z}& =-g\end{array}$$

简谐运动

弹性势能的函数表达式为：

$$V(x)=\frac{1}{2}k{x}^2$$

动力学方程为：

$$m\ddot{x}=-kx$$

这是一个二阶微分方程，我们假设初值条件为 $x(0)=A,\dot{x}(0)=0$，可以得到该动力学方程的通解为：

$$x=A\cos (\omega t)$$

其中，角频率为：

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$$

周期为：

$$T=\frac{2\pi }{\omega }$$

综上，当我们从弹性势能函数 $V(x)=\frac{1}{2}k{x}^2$ 中推导出,初值条件为 $x(0)=A,\dot{x}(0)=0$ 时，运动学方程组为：

$$\{\begin{array}{rl}x& =A\cos (\omega t)\\ \dot{x}& =-A\omega \sin (\omega t)\\ \ddot{x}& =-A{\omega }^2\cos (\omega t)\end{array}$$

单摆运动

受力分析图：

动力学方程为：

$$m\frac{{\mathrm{d}}^2}{\mathrm{d}{t}^2}(\theta l)=-mg\sin \theta$$

即：

$$\ddot{\theta }=-\frac{g}{l}\sin \theta$$

约定零势能处为绳子固定点处，根据机械能守恒定律：

$$E=\frac{1}{2}m{l}^2{\dot{\theta }}^2-mgl\cos \theta$$

• 如果 $E>mgl$，那么动能永远大于 0，单摆运动将会是一个完整圆周运动；
• 如果 $E<mgl$，那么单摆只完成部分圆周，然后停下来并反向摆动。

我们可以通过公式 $t-t_0=\pm {\int }_{{\mathbf{x}}_0}^{\mathbf{x}}\frac{\mathrm{d}{\mathbf{x}}^{\prime }}{\sqrt{\frac{2}{m}(E-V({\mathbf{x}}^{\prime }))}}$ 计算周期。如果单摆到达最高点时对应的角度为 ${\theta }_0$，那么 $E=-mgl\cos {\theta }_0$，一个完整单摆运动的周期为：

$$\begin{array}{rl}T=4{\int }_0^{T/4}\mathrm{d}t& =4{\int }_0^{{\theta }_0}\frac{l\mathrm{d}\theta }{\sqrt{-2gl\cos {\theta }_0+2gl\cos \theta }}\\ & =4\sqrt{\frac{l}{g}}{\int }_0^{{\theta }_0}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{2\cos \theta -2\cos {\theta }_0}}\end{array}$$

当 $\theta$ 较小时， $\cos \theta \approx 1-\frac{1}{2}{\theta }^2$ (取泰勒展开的前两项)。将这个结果代入到上式得到：

$$T=4\sqrt{\frac{l}{g}}{\int }_0^{{\theta }_0}\frac{\mathrm{d}\theta }{\sqrt{{\theta }_0^2-{\theta }^2}}=4\sqrt{\frac{l}{g}}{\int }_0^1\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}}=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$$

其中，$x=\frac{\theta }{{\theta }_0}$ 是一种积分技巧。

于是，单摆运动可以视为角频率

$$\omega =\sqrt{\frac{g}{l}}$$

的简谐运动。

弹道摆

子弹射入摆块并嵌入，属于完全非弹性碰撞：

子弹（质量 $m$）以未知初速度 $v$ 水平射入质量为 $M$ 的静止摆块中，子弹嵌入后摆体上升至最大高度 $h$。求子弹的初速度 $v$。

根据动量守恒：

$$mv=(m+M)v^{\prime }$$

根据动能守恒：

$$\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}(m+M)(v^{\prime }{)}^2$$

根据机械能守恒：

$$\frac{1}{2}(m+M)(v^{\prime }{)}^2=(m+M)gh$$

联立以上方程，解得初速度为：

$$v=\frac{m+M}{m}\sqrt{2gh}$$

使用Python求解：

import sympy as sp
from IPython.display import display, Math

# 定义符号
m, M, v, vprime, g, h = sp.symbols('m M v vprime g h', real=True, positive=True)

# 动量守恒
eq_1 = sp.Eq(m * v, (m + M) * vprime)
# 机械能守恒
eq_2 = sp.Eq(1/2 * (m + M) * vprime**2, (m + M) * g * h)

# 求解 v 和 vprime
sol = sp.solve([eq_1, eq_2], [v, vprime])

# 化简结果
v_sol = sp.simplify(sol[0][0])

# 显示结果，使用换行和等号对齐格式
display(Math(r'v = ' + sp.latex(v_sol)))

初速度为：

${\displaystyle v=\frac{1.4142135623731\sqrt{g}\sqrt{h}(M+m)}{m}}$

火箭推进

一枚质量为 $m$，速度为 $v$ 的火箭在太空中（不考虑重力和空气摩擦力的影响）喷气前进，火箭燃料的排气速度（相对于火箭）为 $v_e$（假设 $v_e$ 恒定不变）。此时，系统的动量为：

$$p_1=mv$$

经过 $\mathrm{d}t$ 的时间后，火箭的质量为 $(m+\mathrm{d}m)$，速度为 $(v+\mathrm{d}v)$，被排出的气体的质量为 $(-\mathrm{d}m)$，速度为 $(v-v_e)$。此时，系统的动量为：

$$p_2=(m+\mathrm{d}m)(v+\mathrm{d}v)+(-\mathrm{d}m)(v-v_e)$$

根据动量守恒定律，可知 $p_1=p_2$：

$$mv=(m+\mathrm{d}m)(v+\mathrm{d}v)+(-\mathrm{d}m)(v-v_e)$$

上式化简可得：

$$\mathrm{d}v=-\frac{v_e}{m}\mathrm{d}m$$

对两边进行积分：

$$\begin{array}{rl}{\int }_{v_0}^v\mathrm{d}v& =-v_e{\int }_{m_0}^m\frac{1}{m}\mathrm{d}m\\ v-v_0& =v_e\ln \frac{m_0}{m}\end{array}$$

上式即为火箭方程，也被称为齐奥尔科夫斯基火箭方程 (Tsiolkovsky rocket equation)。