一般原则

在我读过的为数不多的基本理科教材中，第一章除了介绍本学科的基本概念外，会很默契地介绍量纲、数量级和有效数字等概念。于是我索性把它们归类为一般原则。

the most effective way of learning the principles of engineering mechanics is to solve problems.

量纲

量纲 (dimension) 是表示物理量的基本性质的一个概念。所有的物理量都有一个量纲，它代表了量的性质和单位。SI单位系统使用七个基本单位来描述自然界的量纲。这些单位通过乘积和除法的方式组合起来形成其他物理量的单位。

物理量	名称	符号
长度	米	m
质量	千克	kg
时间	秒	s
电流	安培	A
热力学温度	开尔文	K
物质的量	摩尔	mol
发光强度	坎德拉	cd

数量级

数量级 (order of magnitude) 是用来表示一个数值大小的度量。数量级通常使用科学记数法来表示，它展示了一个数值相对于10的幂的大小。下面是常见的数量级前缀，用来表示不同数量级的单位。

前缀名称	前缀符号	数量级		前缀名称	前缀符号	数量级
yotta	Y	1024		deci	d	10-1
zetta	Z	1021		centi	c	10-2
exa	E	1018		milli	m	10-3
peta	P	1015		micro	u	10-6
tera	T	1012		nano	n	10-9
giga	G	109		pico	p	10-12
mega	M	106		femto	f	10-15
kilo	k	103		atto	a	10-18
hecto	h	102		zepto	z	10-21
deka	da	101		yocto	y	10-24

有效数字

有效数字 (significant figures) 是指一个数中从左起第一个非零数字开始，到最后一个确定数字为止的所有数字，包括中间的零。有效数字表示了数值的精确程度，是科学计量和计算中衡量数据可靠性的重要指标。

在这篇静力学的笔记中，通常只要求保留三位有效数字。

补充

量纲分析与 pint 库

Dimensional Analysis

在掌握了量纲和数量级的基本概念后，我们便需要面对量纲分析。

不同于数学，在物理计算过程中的数字往往都是附有单位的。数字之间可以加减乘除，单位之间也是可以的。多说无益，我认为通过做练习，能够更快掌握这个概念。

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1. 假设某高铁的速度为 300 km/h，A、B 两地相距 133 公里，请问该高铁从 A 出发，经过多长时间能达到 B ？

import pint
ureg = pint.UnitRegistry()

# 定义速度和距离
speed = 300 * ureg.km / ureg.h
distance = 133 * ureg.km

# 计算时间
time = distance / speed
print(f"单程用时为: {time:.3g}, 或 {time.to(ureg.s):.3g}")
print()

# 检查 速度、距离和时间 的量纲
print(f"速度的量纲: {speed.dimensionality}")
print(f"距离的量纲: {distance.dimensionality}")
print(f"时间的量纲: {time.dimensionality}")

输出：

单程用时为: 0.443 hour, 或 1.6e+03 second

速度的量纲: [length] / [time]
距离的量纲: [length]
时间的量纲: [time]

通过 pint 库，不仅能够计算带单位的变量，还能通过 dimensionality 方法检查变量的量纲。{var:.3g} 表示保留三位有效数字。

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2. 计算 $0.453\text{ mol}$ 的葡萄糖 $(\mathrm{C}{\phantom{A}}_6\mathrm{H}{\phantom{A}}_{12}\mathrm{O}{\phantom{A}}_6)$ 有多重？（单位：克）

from chempy import Substance
import pint
ureg = pint.UnitRegistry()

# 定义葡萄糖
glucose = Substance.from_formula('C6H12O6')

# 物质的量（单位：mol）
n = 0.453 * ureg.mol

# 获取摩尔质量（单位：g/mol）
molar_mass = float(glucose.molar_mass()) * ureg.g / ureg.mol

# 质量 = 物质的量 * 摩尔质量
mass = n * molar_mass
print(f"0.453 mol 葡萄糖的质量为: {mass.to(ureg.g):.3g}.")

输出：

0.453 mol 葡萄糖的质量为: 81.6 gram.

全等三角形的判定及其面积计算

在几何中，全等三角形是指形状和大小完全相同的两个三角形。判断两个三角形是否全等，常用如下五种判定方法：SSS、SAS、ASA、AAS 和 RHS。一旦三角形确定，面积便可根据已知元素利用相应公式求得。

SSS

三边长度相等。

若已知三角形三条边的长度分别为 $a$、$b$、$c$，则其面积可通过海伦公式得到：

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

其中 $p=\frac{a+b+c}{2}$ 为半周长。

SAS

两边，且夹角相等。

面积公式为：

$$S=\frac{1}{2}ab\sin C$$

其中 $a$、$b$ 为两边，$C$ 为夹角。

ASA

两角，且夹边相等。

面积公式为：

$$S=\frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}$$

推导过程（点击展开）

$$\begin{array}{rl}& \text{由正弦定理：}\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}\\ & \Rightarrow b=\frac{a\sin B}{\sin A},c=\frac{a\sin C}{\sin A}\\ & \text{将 }b,c\text{ 代入面积公式 }S=\frac{1}{2}bc\sin A：\\ & S=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sin B}{\sin A}\cdot \frac{a\sin C}{\sin A}\cdot \sin A\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{a^2\sin B\sin C\sin A}{{\sin }^{2}A}\\ & =\boxed{{\displaystyle \frac{a^2\sin B\sin C}{2\sin A}}}\end{array}$$

其中 $a$ 为夹边，$B$、$C$ 为两角，$A$ 为夹边所对的角，且 $A=\pi -B-C$ 。

AAS

两角，且非夹边相等。

可先用三角形内角和求第三角，再用 ASA 方法计算面积。

RHS

Right-Angle-Hypotenuse-Side

在一对直角三角形中，斜边及另一条直角边相等（可以理解为特殊情况下的 SSA）。面积公式为：

先使用勾股定律求出另一条直角边的长度，最后使用 SAS 的方法求出面积。