虚功

Virtual Work

基本概念

想象一个物体在力的作用下处于平衡状态。既然是平衡，它实际上是静止的，没有发生任何移动，所以所有力做的“实际的功”都等于零。

我们假想这个物体（或系统）发生了一个极其微小的、符合其约束条件的位移。这个位移并不是真实发生的，它只存在于我们的想象中，因此我们称之为虚位移 (Virtual Displacement)，通常用 $\delta r$（平动）或 $\delta \theta$（转动）来表示。

虚功 ($\delta U$) 指的是一个真实的力在一个虚位移上所作的功。

计算公式和真实的功完全一样，是力与位移的点积：

$$\delta U=F\cdot \delta r$$

或者对于力矩和虚转角：

$$\delta U=M\cdot \delta \theta$$

虚功原理

Principle of Virtual Work

如果一个刚体或刚体系统处于平衡状态，那么所有施加在该系统上的外力所做的总虚功，对于任何可能的虚位移，都等于零。

数学上表示为：

$$\delta U=0$$

虚功原理不是一个全新的物理定律，而是牛顿平衡定律 ($\mathrm{\Sigma }F=0,\mathrm{\Sigma }M=0$) 的另一种数学表达形式。

自由度

Degrees of Freedom, DOF

一个系统的自由度，是指完全确定该系统位置所需要的最少独立坐标的数量。

• 单自由度系统：这是本文所讨论的主要类型，也是静力学中最常见的情况。在这样的系统中，只要确定了一个变量，那么系统中所有其他部件 (members) 的位置就都随之唯一确定了。

势能函数的一阶、二阶导数

对于一个由独立坐标 $\theta$ 描述的保守力系统（单自由度）。

• 如果其总势能函数 $V(\theta )$ 的一阶导数等于 0，那么该系统处于平衡位置。

• 在总势能函数 $V(\theta )$ 的一阶导数等于 0 的基础上：

  • 如果二阶导数大于 0，那么该平衡位置是稳定的。

  • 如果二阶导数小于 0，那么该平衡位置是不稳定的。

  • 如果二阶导数等于 0，那么该平衡位置是临界的，无法判断其稳定性。