电磁学理论、光子和光

电磁学基本理论

库仑定律

标量形式

$$ F = k\frac{q_1q_2}{r^2} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2} = q E $$

$$ E = \frac{F}{q_p} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_s}{r^2} $$

矢量形式

$$ \mathbf{F} = k\frac{q_1q_2}{r^2}\mathbf{\hat{r}} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}\mathbf{\hat{r}} $$

$$ \mathbf{F}_{12} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_1 q_2}{|\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1|^3} (\mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1) $$

$$ \mathbf{E} = \frac{\mathbf{F}}{q} $$

毕奥-萨伐尔定律

$$ d\mathbf{B} = \frac{\mu_0}{4\pi} \frac{I d\mathbf{l} \times \mathbf{\hat{r}}}{r^2} $$

电流构型	磁感应强度
直导线	$B = \displaystyle\frac{\mu_0 I}{2\pi r}$
圆环	$B = \displaystyle\frac{\mu_0 I}{2R}$
螺线管	$B = \displaystyle\mu_0 n I$

法拉第定律

$$ \begin{cases}\, \begin{aligned} \mathcal{E} &= -\frac{d\Phi}{dt} = -\frac{d}{dt}\iint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S}\\[8pt] \mathcal{E} &= \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} \end{aligned} \end{cases} $$

$$ \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = -\iint_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{S} $$

高斯定律

电

$$ \Phi_E = \oiint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \frac{1}{\epsilon_0} \sum q = \frac{1}{\epsilon_0} \iiint_V \rho\, dV $$

磁

$$ \Phi_M = \oiint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} = 0 $$

介电常数

$$ \epsilon = K_E \epsilon_0 $$

安培定律

安培环路定律

$$ \oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{encl}} = \mu_0 \iint_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S} $$

位移电流

$$ Q = \epsilon_0 \Phi_E $$

$$ I_{\text{d}} = \frac{dQ}{dt} = \epsilon_0 \frac{d\Phi_E}{dt} $$

修正

$$ I_{\text{encl}} = I_c + I_d = \iint_S \mathbf{J} \cdot d\mathbf{S} + \epsilon_0 \frac{d}{dt} \iint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} $$

$$ \oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 \iint_S \left( \mathbf{J} + \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \right) \cdot d\mathbf{S} $$

相对磁导率

$$ \mu = K_M \mu_0 $$

麦克斯韦方程组

自由空间：真空并且 $\rho, \mathbf{J}$ 值为零

积分形式

$$ \begin{aligned} \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} &= -\iint_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{S}\\[8pt] \oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} &= \mu_0 \epsilon_0 \iint_S \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \cdot d\mathbf{S}\\[8pt] \oiint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} &= 0\\[8pt] \oiint_S \mathbf{B} \cdot d\mathbf{S} &= 0 \end{aligned} $$

微分形式

$$ \begin{aligned} \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} &= - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}\\[8pt] \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} &= \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\\[8pt] \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} &= 0\\[10pt] \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B} &= 0 \end{aligned} $$

微分形式展开

Faraday's Law

$$ \begin{aligned} \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} &= - \frac{\partial B_x}{\partial t}\\[8pt] \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} &= - \frac{\partial B_y}{\partial t}\\[8pt] \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} &= - \frac{\partial B_z}{\partial t} \end{aligned} $$

Ampère's Law

$$ \begin{aligned} \frac{\partial B_z}{\partial y} - \frac{\partial B_y}{\partial z} &= \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E_x}{\partial t}\\[8pt] \frac{\partial B_x}{\partial z} - \frac{\partial B_z}{\partial x} &= \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E_y}{\partial t}\\[8pt] \frac{\partial B_y}{\partial x} - \frac{\partial B_x}{\partial y} &= \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial E_z}{\partial t} \end{aligned} $$

Gauss's Law

$$ \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} = 0 $$

$$ \frac{\partial B_x}{\partial x} + \frac{\partial B_y}{\partial y} + \frac{\partial B_z}{\partial z} = 0 $$

矢量分析

Del 算子

$$ \boldsymbol{\nabla} = \mathbf{\hat{i}} \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{\hat{j}} \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{\hat{k}} \frac{\partial}{\partial z} $$

拉普拉斯算符

$$ \boldsymbol{\nabla}^2 = \frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2} + \frac{\partial^2}{\partial z^2} $$

给定电场

$$ \mathbf{E} = E_x \mathbf{\hat{i}} + E_y \mathbf{\hat{j}} + E_z \mathbf{\hat{k}} $$

散度

$$ \text{div}\, \mathbf{E} = \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\partial E_x}{\partial x} + \frac{\partial E_y}{\partial y} + \frac{\partial E_z}{\partial z} $$

$$ \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \lim_{\Delta{V} \to 0} \frac{1}{\Delta{V}} \oiint_S \mathbf{E} \cdot d\mathbf{S} = \lim_{\Delta{V} \to 0} \frac{1}{\epsilon_0} \iiint_V \rho\, dV = \frac{\rho}{\epsilon_0} $$

$$ \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{B} = 0 $$

旋度

$$ \begin{aligned} \text{curl}\, \mathbf{E} = \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} &= \left( \mathbf{\hat{i}} \frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{\hat{j}} \frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{\hat{k}} \frac{\partial}{\partial z} \right) \times \left( E_x \mathbf{\hat{i}} + E_y \mathbf{\hat{j}} + E_z \mathbf{\hat{k}} \right) \\[8pt] &= \left( \frac{\partial E_z}{\partial y} - \frac{\partial E_y}{\partial z} \right) \mathbf{\hat{i}} + \left( \frac{\partial E_x}{\partial z} - \frac{\partial E_z}{\partial x} \right) \mathbf{\hat{j}} + \left( \frac{\partial E_y}{\partial x} - \frac{\partial E_x}{\partial y} \right) \mathbf{\hat{k}} \end{aligned} $$

$$ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} = \lim_{\Delta{S} \to 0} \frac{1}{\Delta{S}} \oint_C \mathbf{E} \cdot d\mathbf{l} = - \lim_{\Delta{S} \to 0} \frac{1}{\Delta{S}} \iint_S \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \cdot d\mathbf{S} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} $$

$$ \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} = \lim_{\Delta{S} \to 0} \frac{1}{\Delta{S}} \oint_C \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 \epsilon_0 \lim_{\Delta{S} \to 0} \frac{1}{\Delta{S}} \iint_S \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \cdot d\mathbf{S} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} $$

电磁波

矢量恒等式

超纲内容，视作结论。

$$ \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) = \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}) - (\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{A} $$

因为 $\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\nabla}$ 等于拉普拉斯算符 $\boldsymbol{\nabla}^2$，所以：

$$ \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{A}) = \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{A}) - \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{A} $$

波动性质

对法拉第定律 $\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E} = - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}$ 两边取旋度：

$$ \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}) = \boldsymbol{\nabla} \times \left( - \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} \right) $$

由于空间导数和时间导数是独立的，所以可以交换顺序：

$$ \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}) = - \frac{\partial}{\partial t} (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}) $$

注意右边的 $\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B}$ 正好是安培定律 $\displaystyle \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}$，所以有：

$$ \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}) = - \frac{\partial}{\partial t} (\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}) = - \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} $$

根据矢量恒等式，可知：

$$ \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}) = \boldsymbol{\nabla} (\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E}) - \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{E} $$

代入高斯定律 $\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{E} = 0$，有：

$$ \boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{E}) = - \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{E} $$

所以有：

$$ \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{E} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} $$

基于麦克斯韦方程组的对称性，同样有：

$$ \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{B} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2} $$

可见，电磁波满足波动方程的形式。

展开后得到：

$$ \begin{aligned} \frac{\partial^2 E_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_x}{\partial z^2} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 E_x}{\partial t^2}\\[8pt] \frac{\partial^2 E_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_y}{\partial z^2} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 E_y}{\partial t^2}\\[8pt] \frac{\partial^2 E_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 E_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 E_z}{\partial z^2} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 E_z}{\partial t^2}\\[8pt] \frac{\partial^2 B_x}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 B_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 B_x}{\partial z^2} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 B_x}{\partial t^2}\\[8pt] \frac{\partial^2 B_y}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 B_y}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 B_y}{\partial z^2} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 B_y}{\partial t^2}\\[8pt] \frac{\partial^2 B_z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 B_z}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 B_z}{\partial z^2} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 B_z}{\partial t^2} \end{aligned} $$

电磁场的每一个分量 $E_x, E_y, E_z, B_x, B_y, B_z$ 都服从标量微分波动方程的形式。这提供一种对上述方程组的简化表达式：

$$ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2} = \mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} $$

其中 $\psi$ 是电磁场的任意一个分量 $E_x, E_y, E_z, B_x, B_y, B_z$。

据此有：

$$ \frac{1}{v^2} = \mu_0 \epsilon_0 \quad \text{or} \quad v = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} $$

这预示电磁波在真空中传播的速度为 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$。

后来的实验证明，这个速度正是光速 $c$：

$$ \boxed{ c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}} } $$

横波性质

考虑一个平面波在真空中沿 $x$ 正轴方向传播的简单情况。

根据高斯定律，有：

$$ \frac{\partial E_x}{\partial x} = 0 $$

在不失一般性的情况下，考虑线偏振波的情况。为此，使电场与 $y$ 轴平行，有：

$$ \mathbf{E} = \mathbf{\hat{j}} E_y(x, t) $$

根据法拉第定律，有

$$ \frac{\partial E_y}{\partial x} = - \frac{\partial B_z}{\partial t} $$

对上式两边求积分，有：

$$ \int \frac{\partial E_y}{\partial x} dt = - \int \frac{\partial B_z}{\partial t} dt $$

化简得：

$$ B_z = - \int \frac{\partial E_y}{\partial x} dt $$

由于利用傅里叶技术，任何波形都可以表示为正弦波的叠加。因此假设 $E_y (x, t)$ 的表达式为：

$$ E_y (x, t) = E_{0y} \cos \left[ \omega (t - x / c) + \varepsilon \right] $$

于是有：

$$ B_z = - \frac{E_{0y} \omega}{c} \int \sin[\omega (t - x / c) + \varepsilon] dt $$

化简得：

$$ B_z (x, t) = \frac{E_{0y}}{c} \cos[\omega (t - x / c) + \varepsilon] $$

结合 $E_y$ 和 $B_z$ 的表达式，有：

$$ E_y = c B_z $$

如果最开始令 $E$ 与 $z$ 轴平行，则有：

$$ E_z = - c B_y $$

由于横波的性质，可知：

$$ E_x = B_x = 0 $$

最终，在普通的电介质材料（通常是绝缘且非磁性的）中，上式可以被推广为：

$$ E = c B $$

或

$$ \boxed{ \left| \mathbf{E} \right| = c \left| \mathbf{B} \right| } $$

能量与动量

能量密度

已知电容器储存的总能量为 $W = \frac{1}{2} C V^2$，将其物理参数展开（平行板电容器）：

• 几何特性：$C = \epsilon_0 \frac{A}{d}$
• 场强特性：$V = E d$
• 体积：$A d$

定义电场能量密度 $\displaystyle u_E$ 为单位体积内的电场能量：

$$ u_E = \frac{\frac{1}{2} C V^2}{A d} = \frac{\frac{1}{2} (\epsilon_0 A / d) (E d)^2}{A d} $$

化简得：

$$ u_E = \frac{\epsilon_0}{2} E^2 $$

已知电感器储存的总能量为 $W = \frac{1}{2} L I^2$，将其物理参数展开（长直螺线管）：

• 几何特性：$L = \mu_0 n^2 l A$
• 磁感应强度：$B = \mu_0 n I$，由此可得 $I = \frac{B}{\mu_0 n}$
• 体积：$A l$

定义磁场能量密度 $\displaystyle u_B$ 为单位体积内的磁场能量：

$$ u_B = \frac{\frac{1}{2} L I^2}{A l} = \frac{\frac{1}{2} (\mu_0 n^2 l A) (\frac{B}{\mu_0 n})^2}{A l} $$

化简得：

$$ u_B = \frac{1}{2\mu_0} B^2 $$

关系式 $E = c B$ 是专为平面波推导的，但它同样适用于多种类型的波（为什么？）。结合 $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \epsilon_0}}$ 这一物理事实，可进一步得出如下结论：

$$ u_E = u_B $$

电磁波在空间传输能量时，其电场能量密度与磁场能量密度始终相等。

$$ u = u_E + u_B = 2 u_E = 2 u_B $$

或

$$ \boxed{ u = \epsilon_0 E^2 = \frac{1}{\mu_0} B^2 } $$

单位 $J/m^3$。

坡印廷矢量

考虑一个截面积为 $A$ 的窗口，电磁波以光速 $c$ 穿过它。

在 $\Delta t$ 时间内，通过这个窗口的能量，实际上是填充在一个长度为 $c\Delta t$ 的柱体内的能量。

这部分能量 $\Delta W$ 可以表示为：

$$ \Delta W = u (c \Delta t \cdot A) $$

单位时间、单位面积通过的能量为 $S$：

$$ S = \frac{\Delta W}{\Delta t \cdot A} = u c $$

将 $u=\frac{1}{\mu_0}B^2$ 和 $B=\frac{E}{c}$ 的表达式代入，有：

$$ S = \frac{1}{\mu_0} B (\frac{E}{c}) c = \frac{1}{\mu_0} E B $$

由于在电磁波中，能量传播方向始终垂直于 $\mathbf{E}$ 和 $\mathbf{B}$ 构成的平面，所以使用叉乘：

$$ \boxed{ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E} \times \mathbf{B} } $$

$\mathbf{S}$ 即坡印廷矢量，$S$ 即能流密度。单位 $W/m^2$ 。

现在，考虑一束在真空中沿 $\mathbf{\hat{k}}$ 方向传播的、简谐且线偏振的平面波：

$$ \mathbf{E} = \mathbf{E}_0 \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t) $$

$$ \mathbf{B} = \mathbf{B}_0 \cos (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t) $$

可得坡印廷矢量：

$$ \mathbf{S} = \frac{1}{\mu_0} \mathbf{E}_0 \times \mathbf{B}_0 \cos^2 (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t) $$

补充：

$$ \frac{1}{\mu_0} = c^2 \epsilon_0 $$

时间平均值

对于函数 $f(t)$，其在时间间隔 $T$ 内的时间平均值定义为 $\langle f(t) \rangle_T$：

$$ \langle f(t) \rangle_T = \frac{1}{T} \int_{t-T/2}^{t+T/2} f(t) dt $$

对于简谐函数 $e^{i \omega t}$，计算它的时间平均值：

$$ \begin{aligned} \langle e^{i \omega t} \rangle_T &= \frac{1}{T} \int_{t-T/2}^{t+T/2} e^{i \omega t} dt\\[8pt] &= \frac{1}{T} \frac{1}{i \omega} \left. e^{i \omega t} \right|_{t-T/2}^{t+T/2}\\[8pt] &= \frac{1}{i\omega T} \left[ e^{i \omega (t+T/2)} - e^{i \omega (t-T/2)} \right]\\[8pt] &= \frac{1}{i\omega T} \left[ e^{i \omega t} e^{i \omega T/2} - e^{i \omega t} e^{-i \omega T/2} \right] \\[8pt] &= \frac{1}{i\omega T} \left[ e^{i \omega t} \left( e^{i \omega T/2} - e^{-i \omega T/2} \right) \right] \\[8pt] &= \frac{1}{i\omega T} \cdot e^{i \omega t} \cdot 2i \cdot \sin(\omega T/2)\\[8pt] &= \frac{\sin(\omega T/2)}{\omega T/2} \cdot e^{i \omega t} \end{aligned} $$

定义 $\displaystyle \operatorname{sinc} x = \frac{\sin x}{x}$，则有：

$$ \langle e^{i \omega t} \rangle_T = \operatorname{sinc} (\omega T/2) e^{i \omega t} $$

$$ \langle \cos \omega t \rangle_T = \operatorname{sinc} (\omega T/2) \cos \omega t $$

$$ \langle \sin \omega t \rangle_T = \operatorname{sinc} (\omega T/2) \sin \omega t $$

• 当 $T\to 0$ 时，$\operatorname{sinc} \to 1$，时间平均值等于瞬时值。

• 当 $T \gg \tau$ （采样时间 $T$ 远大于周期 $\tau$）时，$\operatorname{sinc}$ 函数值迅速衰减，时间平均值趋于 $0$。

• 当 $T = n \tau$ （$n$ 为整数）时，$\operatorname{sinc}$ 函数值为 $0$，时间平均值等于 $0$。这正好印证了物理直觉：简谐函数在一个完整周期内的平均值为 $0$。

辐照度

Irradiance

辐照度 $I$ 被定义为坡印廷矢量的大小 $S$ 或 $|\mathbf{S}|$ 的时间平均值：

$$ I = \langle S \rangle_T = \langle | \mathbf{S} | \rangle_T $$

计算 $\langle | \mathbf{S} | \rangle_T$：

$$ \begin{aligned} \langle | \mathbf{S} | \rangle_T &= \frac{1}{\mu_0} | \mathbf{E}_0 \times \mathbf{B}_0 | \cdot \langle \cos^2 (\mathbf{k} \cdot \mathbf{r} - \omega t) \rangle_T \\[8pt] &= \frac{1}{\mu_0} E_0 B_0 \cdot \frac{1}{2} \quad \left(\text{已知 } \langle \cos^2 \theta \rangle_T = \frac{1}{2}\right)\\[8pt] &= \frac{1}{2}\frac{1}{\mu_0 c} E_0^2 \quad \left(\text{利用 } B_0 = E_0/c\right)\\[8pt] &= \frac{1}{2} c\epsilon_0 E_0^2 \quad \left(\text{利用 } \frac{1}{\mu_0} = c^2 \epsilon_0\right) \\[8pt] &= c \epsilon_0 \langle E^2(t) \rangle_T \quad \left(\text{因为 } \langle E^2(t) \rangle_T = \frac{1}{2} E_0^2\right)\\[8pt] &= \frac{1}{2}\frac{c}{\mu_0} B_0^2 \quad \left(\text{利用 } E_0 = cB_0\right)\\[8pt] &= \frac{c}{\mu_0} \langle B^2(t) \rangle_T \quad \left(\text{因为 } \langle B^2(t) \rangle_T = \frac{1}{2} B_0^2\right) \end{aligned} $$

因此：

$$ \boxed{ \begin{aligned} I &= \langle S(t) \rangle_T \\[8pt] &= \frac{1}{2} c \epsilon_0 E_0^2 = c \epsilon_0 \langle E^2(t) \rangle_T \\[8pt] &= \frac{1}{2} \frac{c}{\mu_0} B_0^2 = \frac{c}{\mu_0} \langle B^2(t) \rangle_T \end{aligned} } $$

光子

光电效应

光子的能量与频率的关系：

$$ \mathscr{E} = h \nu $$

平均光子通量

单位时间内通过的光子数，量纲为 $s^{-1}$。

如果一束单色光（频率为 $\nu$）照射在面积为 $A$ 的表面上，那么光功率（optical power）为 $P = A I$，其中 $I$ 为辐照度；单光子能量为 $\mathscr{E} = h \nu$。因此，平均光子通量（mean photon flux）可以表示为：

$$ \Phi = \frac{P}{\mathscr{E}} = \frac{A I}{h \nu} $$

平均光子通量密度

单位时间内，单位面积通过的光子数，量纲为 $s^{-1} m^{-2}$。

$$ \phi = \frac{I}{h \nu} $$

辐射压与动量

辐射压 $\mathscr{P}$ 等于电磁场能量密度 $u$。其推导过程涉及到进阶电磁学内容，对这里而言是超纲了。

$$ \begin{aligned} \mathscr{P} &= u \\[8pt] &= \epsilon_0 E^2 \\[8pt] &= \epsilon_0 E \cdot (c B) \quad \left(\text{利用 } E = c B\right) \\[8pt] &= \epsilon_0 c \cdot (\mu_0 S) \quad \left(\text{利用 } S = \frac{1}{\mu_0} E B\right) \\[8pt] &= \frac{\epsilon_0 \mu_0}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}} S \quad \left(\text{利用 } c = \frac{1}{\sqrt{\epsilon_0 \mu_0}}\right) \\[8pt] &= \frac{S}{c} \end{aligned} $$

即：

$$ \mathscr{P}(t) = \frac{S(t)}{c} $$

这是表面完全吸收的情况。量纲为 $W/m^2$。

平均辐射压（全吸收）为：

$$ \boxed{ \langle \mathscr{P}(t) \rangle_T = \frac{\langle S(t) \rangle_T}{c} = \frac{I}{c} } $$

每单位体积的辐射动量 $p_V$：

$$ p_V = \frac{S}{c^2} $$

推导过程

令 $p$ 为动量，则光束作用于吸收表面的力为

$$ A\mathscr{P} = \frac{\Delta p}{\Delta t} $$

令 $p_V$ 为每单位体积的辐射动量，则有：

$$ \Delta p = p_V (c \Delta t A) $$

因此：

$$ A\mathscr{P} = \frac{p_V (c \Delta t A)}{\Delta t} = A\frac{S}{c} $$

整理得：

$$ \boxed{ p_V = \frac{S}{c^2} } $$

---

当照射在表面的光束发生全反射时，光速以 $+c$ 进入，以 $-c$ 反射。这对应于吸收时发生的动量变化的两倍。因此，平均辐射压（全反射）为：

$$ \langle \mathscr{P}(t) \rangle_T = 2 \frac{\langle S(t) \rangle_T}{c} = 2 \frac{I}{c} $$

其它：

$$ p = \frac{\mathscr{E}}{c} = \frac{h}{\lambda} $$

$$ \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} $$

$$ \mathscr{E}^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2 $$

辐射

电偶极辐射

$$ \mathscr{p}(t) = \mathscr{p}_0 \cos \omega t $$

其中，$\mathscr{p}_0 = qd$。

$$ E = \frac{\mathscr{p}_0 k^2 \sin\theta}{4\pi \epsilon_0} \frac{\cos{kr - \omega t}}{r} $$

$$ I(\theta) = \frac{\mathscr{p}_0^2 \omega^4}{32\pi^2 c^3 \epsilon_0} \frac{\sin^2\theta}{r^2} $$

介质中的光

Light in Bulk Matter

$$ v = \frac{1}{\sqrt{\epsilon \mu}} $$

absolute index of refraction $n$：

$$ n = \frac{c}{v} = \pm\sqrt{\frac{\epsilon\mu}{\epsilon_0\mu_0}} $$

$$ n = \pm \sqrt{K_E K_M} $$

$$ n \approx \sqrt{K_E} $$

散射与吸收

Scattering and Absorption

色散

Dispersion

驱动力（driving force）：

$$ F_E = q_e E(t) = q_e E_0 \cos \omega t $$

恢复力（restoring force）：

$$ F = - k_E x = - m_e \omega_0^2 x \text{ , since } \omega_0 = \sqrt{\frac{k_E}{m_e}} $$

根据牛二定律,有：

$$ q_e E_0 \cos \omega t - m_e \omega_0^2 x = m_e \frac{d^2 x}{dt^2} $$

然后用到常微分教材中的常见技巧，猜测解的形式为：$x(t) = x_0 \cos \omega t$，代入上式，得到：

$$ x(t) = \frac{q_e / m_e}{ (\omega_0^2 - \omega^2)} E(t) $$

$x(t)$ 代表电子云（electron cloud）与原子核的相对位移。

代入计算过程

先处理二次微分项：

$$ \begin{aligned} \frac{d^2 x}{dt^2} &= \frac{d^2}{dt^2} x_0 \cos \omega t \\[8pt] &= -\omega x_0 \frac{d}{dt} \sin \omega t \\[8pt] &= -\omega^2 x_0 \cos \omega t \end{aligned} $$

回到牛二定律得到的公式，有：

$$ \begin{aligned} q_e E_0 \cos \omega t - m_e \omega_0^2 x &= -m_e \omega^2 x_0 \cos \omega t \\[8pt] q_e E(t) &= m_e \omega_0^2 x(t) - m_e \omega^2 x(t)\\[8pt] q_e E_0 \cos \omega t &= m_e x(t) \left( (\omega_0^2 - \omega^2) \right)\\[8pt] x(t) &= \frac{q_e / m_e}{ (\omega_0^2 - \omega^2)} E(t) \end{aligned} $$

---

偶极矩（dipole moment）定义为电荷量与距离的乘积：

$$ p = q_e x $$

偶极矩密度（density of dipole moment）定义为偶极矩与单位体积内的原子/分子数 $N$ 的乘积：

$$ P = q_e x N $$

因此有：

$$ P = \frac{q_e^2 N E / m_e}{(\omega_0^2 - \omega^2)} $$

这里引入一个本构方程：线性电介质的宏观极化。对于线性、各向同性的电介质，宏观电场与介质极化强度之间的基本关系为：

$$ (\epsilon - \epsilon_0) \mathbf{E} = \mathbf{P} $$

其中：

• $\mathbf{E}$ 为宏观入射电场（在光学中，即为穿透介质的光波电场）
• $\mathbf{P}$ 为极化强度（也称宏观电偶极矩密度）。物理意义为介质内单位体积中所有微观诱导电偶极矩 $\mathbf{p}$ 的矢量和，即 $\mathbf{P} = N \mathbf{p}$（$N$ 为单位体积内的原子/分子数）。

根据上述本构方程，有：

$$ \epsilon = \epsilon_0 + \frac{P(t)}{E(t)} = \epsilon_0 + \frac{q_e^2 N / m_e}{(\omega_0^2 - \omega^2)} $$

再根据已知事实 $n^2 = K_E = \epsilon / \epsilon_0$，有：

$$ \boxed{ n^2(\omega) = 1 + \frac{N q_e^2}{\epsilon_0 m_e}\left(\frac{1}{\omega_0^2 - \omega^2}\right) } $$

上式即为色散方程（dispersion equation）。

通过公式变换可得到以波长 $\lambda$ 为变量的色散方程：

$$ (n^2 - 1)^{-1} = - C \lambda^{-2} + C \lambda_0^{-2} $$

假设单位体积内存在 $N$ 个分子，每个分子含有 $f_j$ 个振荡器，其固有频率分别为 $\omega_{0j} (j=1,2,3,\cdots)$，得到多振子色散方程（Multiple Oscillator Dispersion Equation）：

$$ n^2(\omega) = 1 + \frac{N q_e^2}{\epsilon_0 m_e}\sum_j \left( \frac{f_j}{\omega_{0j}^2 - \omega^2} \right) $$

如果考虑阻尼效应，则色散方程为：

$$ n^2(\omega) = 1 + \frac{N q_e^2}{\epsilon_0 m_e}\sum_j \frac{f_j}{\omega_{0j}^2 - \omega^2 + i \gamma_j \omega} $$

进一步地如果考虑致密物质，则色散方程为：

$$ \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{N q_e^2}{3\epsilon_0 m_e}\sum_j \frac{f_j}{\omega_{0j}^2 - \omega^2 + i \gamma_j \omega} $$

若将讨论范围限定在吸收可忽略（absorption is negligible）的区域，则色散方程为：

$$ \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} = \frac{N q_e^2}{3\epsilon_0 m_e}\sum_j \frac{f_j}{\omega_{0j}^2 - \omega^2} $$

负折射率

Negative Refraction