重心和质心

Center of Gravity and Centroid

形心 (centroid) 和质心 (center of mass) 会精确地重合在一起，如果物体的质量分布均匀（即物体的密度为常数）。文本只涉及质量分布均匀的物体，所以本文中对形心和质心不做细致地分辨。

基本公式

重心坐标的计算公式：

$$\bar{x}=\frac{{\displaystyle \int \tilde{x}\mathrm{d}w}}{{\displaystyle \int \mathrm{d}w}}\bar{y}=\frac{{\displaystyle \int \tilde{y}\mathrm{d}w}}{{\displaystyle \int \mathrm{d}w}}\bar{z}=\frac{{\displaystyle \int \tilde{z}\mathrm{d}w}}{{\displaystyle \int \mathrm{d}w}}$$

质心坐标的计算公式：

$$\bar{x}=\frac{{\displaystyle \int \tilde{x}\mathrm{d}m}}{{\displaystyle \int \mathrm{d}m}}\bar{y}=\frac{{\displaystyle \int \tilde{y}\mathrm{d}m}}{{\displaystyle \int \mathrm{d}m}}\bar{z}=\frac{{\displaystyle \int \tilde{z}\mathrm{d}m}}{{\displaystyle \int \mathrm{d}m}}$$

其中，$\tilde{x},\tilde{y},\tilde{z}$ 是物体的任意一点的坐标。

复合体

Composite Bodies

一、核心思想

计算一个复杂形状物体（复合体）的质心时，我们无需直接对其进行复杂的积分运算。核心思想是化整为零，再合零为：

1. 分解 (化整为零)：将复杂的复合体分解成若干个形状规则、质心位置已知的简单几何体（如矩形、三角形、圆、立方体、圆柱体等）的组合。

2. 加权平均 (合零为整)：将每个简单几何体视为一个质点，其质量（或体积、面积）集中在其各自的质心上。整个复合体的质心，就是这些“质点”的加权平均位置。

这个方法将一个微积分问题简化为了一个基础的代数和算术问题。

二、计算步骤

1. 选择坐标系：建立一个合适的笛卡尔坐标系 (x, y, z)。

2. 分解物体：将复合体分解成有限个简单的几何部分。

3. 列表分析：创建一个表格，列出每个简单部分的以下信息：

   • 质量 $m$ (如果密度均匀，则为体积 $V$ 或面积 $A$)。

   • 各自的质心坐标 $(\overline{x},\overline{y},\overline{z})$。

4. 应用公式：使用加权平均公式计算整个复合体的质心坐标 $(\overline{X},\overline{Y},\overline{Z})$。

三、计算公式

假设一个复合体由 $n$ 个部分组成，第 $i$ 个部分的质量为 $m_i$，质心坐标为 $({\overline{x}}_i,{\overline{y}}_i,{\overline{z}}_i)$。

总质量 (M):

$$M=\sum _{i=1}^n{m}_i=m_1+m_2+\cdots +m_n$$

复合体质心坐标 ($\overline{X}$, $\overline{Y}$, $\overline{Z}$):

$$\overline{X}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{\overline{x}}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}=\frac{m_1{\overline{x}}_1+m_2{\overline{x}}_2+\cdots +m_n{\overline{x}}_n}{M}$$$$\overline{Y}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{\overline{y}}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}=\frac{m_1{\overline{y}}_1+m_2{\overline{y}}_2+\cdots +m_n{\overline{y}}_n}{M}$$$$\overline{Z}=\frac{\sum _{i=1}^n{m}_i{\overline{z}}_i}{\sum _{i=1}^n{m}_i}=\frac{m_1{\overline{z}}_1+m_2{\overline{z}}_2+\cdots +m_n{\overline{z}}_n}{M}$$

注意：对于密度均匀的物体，可以将质量 $m$ 替换为体积 $V$ (三维) 或面积 $A$ (二维) 或长度 $L$ (一维)。

帕普斯-古尔丁努斯定理

Theorems of Pappus and Guldinus

该定理提供了一种计算旋转体表面积和体积的简便方法，其核心是将复杂的积分运算简化为质心的几何路径计算。

帕普斯 (Pappus, 古希腊, 约 3 世纪) 和古尔丁努斯 (Guldinus, 瑞士, 16 世纪) 分别独立发现了这一定理。

第一定理：旋转曲面的面积

一个由生成曲线 (generating curve) 绕外部轴旋转任意角度 $\theta$ 所形成的曲面，其面积等于：

$$\boxed{{\displaystyle A=\theta \overline{r}L}}$$

其中，

• $A$ 是生成的旋转曲面的面积。
• $\theta$ 是绕轴旋转的角度（弧度制）。
• $\overline{r}$ 是生成曲线的质心到旋转轴的垂直距离。
• $L$ 是生成曲线的长度。

第二定理：旋转体的体积

一个由生成面 (generating surface) 绕外部轴旋转任意角度 $\theta$ 所形成的旋转体，其体积等于：

$$\boxed{{\displaystyle V=\theta \overline{r}A}}$$

其中，

• $V$ 是生成的旋转体的体积。
• $\theta$ 是绕轴旋转的角度（弧度制）。
• $\overline{r}$ 是生成面的质心到旋转轴的垂直距离。
• $A$ 是生成面的面积。

补充

1. 旋转轴不能穿过生成曲线或生成面。
2. 旋转角度 $\theta$ 可以是任意值，不限于 $2\pi$。

应用于复合体

当生成曲线或面是由多个简单的部分组合而成时，无需计算整个复杂形状的总质心，而是可以分别计算每个部分的质心，然后使用加权平均的方法来确定整体的质心位置。

• 复合曲线生成的旋转曲面面积：

$$A=\theta \sum _{i=1}^n{\overline{r}}_i{L}_i$$

• 复合面生成的旋转体体积：

$$V=\theta \sum _{i=1}^n{\overline{r}}_i{A}_i$$

一般分布载荷的合力

Resultant of a General Distributed Loading

（综合应用）

流体压力

Fluid Pressure

（综合应用。注意一点，在静力学的范围内，在静止流体中，由流体压力产生的力，其方向永远与它所作用的任何表面相垂直。）

示例

Example 9.1

Locate the centroid of the rod bent into the shape of a parabolic arc as shown in Fig.9-8.

Solution

如图建系。假设杆的质量为 $M$，长度为 $L$，并且其质量分布均匀，则线密度为 $\lambda =M/L$。

杆的形状可以用参数方程表示：

$$\{\begin{array}{rl}x(t)& =t^2\\ y(t)& =t\\ t& \in [0,1]\end{array}$$

于是，

$${\displaystyle \begin{array}{rl}{x}_{\text{centroid}}& =\frac{{\displaystyle \int x\mathrm{d}m}}{{\displaystyle \int \mathrm{d}m}}\\ & =\frac{{\displaystyle \int x\mathrm{d}(\lambda l)}}{{\displaystyle \int \mathrm{d}(\lambda l)}}\\ & =\frac{\bcancel{\lambda }{\displaystyle \int x\mathrm{d}l}}{\bcancel{\lambda }{\displaystyle \int \mathrm{d}l}}\\ & =\frac{{\displaystyle \int x\sqrt{(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}y{)}^2}}}{{\displaystyle \int \sqrt{(\mathrm{d}x{)}^2+(\mathrm{d}y{)}^2}}}\\ & =\frac{{\displaystyle \int x\sqrt{(\frac{\mathrm{dx}}{dt}{)}^2+(\frac{\mathrm{dy}}{dt}{)}^2}\mathrm{d}t}}{{\displaystyle \int \sqrt{(\frac{\mathrm{dx}}{dt}{)}^2+(\frac{\mathrm{dy}}{dt}{)}^2}\mathrm{d}t}}\\ & =\frac{{\displaystyle {\int }_0^1{t}^2\sqrt{4t^2+1}\mathrm{d}t}}{{\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{4t^2+1}\mathrm{d}t}}\end{array}}$$

同理，

$$y_{\text{centroid}}=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{1}t\sqrt{4t^2+1}\mathrm{d}t}}{{\displaystyle {\int }_0^1\sqrt{4t^2+1}\mathrm{d}t}}$$

因此，此杆的质心坐标为 (0.410, 0.574)。

Example 9.2

Locate the centroid of the circular wire segment shown in Fig.9-9.

Solution

如图建系。假设圆形线段的质量为 $M$，长度为 $L$，并且其质量分布均匀，则线密度为 $\lambda =M/L$。

该圆形线段可用参数方程表示为：

$$\{\begin{array}{rl}x(\theta )& =R\cos \theta \\ y(\theta )& =R\sin \theta \\ \theta & \in [0,\frac{\pi }{2}]\end{array}$$

于是，

$$x_{\text{centroid}}=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}R\cos \theta \sqrt{(-R\sin \theta {)}^2+(R\cos \theta {)}^2}\mathrm{d}\theta }}{{\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}\sqrt{(-R\sin \theta {)}^2+(R\cos \theta {)}^2}\mathrm{d}\theta }}$$

同理，

$$y_{\text{centroid}}=\frac{{\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}R\sin \theta \sqrt{(-R\sin \theta {)}^2+(R\cos \theta {)}^2}\mathrm{d}\theta }}{{\displaystyle {\int }_0^{\pi /2}\sqrt{(-R\sin \theta {)}^2+(R\cos \theta {)}^2}\mathrm{d}\theta }}$$

因此，此圆形线段的质心坐标为 (${\displaystyle \frac{2R}{\pi }}$, ${\displaystyle \frac{2R}{\pi }}$)。

Example 9.3

Determine the distance $\bar{y}$ measured from the $x$ axis to the centroid of the area of the triangle shown in Fig.9-10.

Solution

如图建系。假设该三角形的重量为 $W$，底边长 $b$，高 $h$，并且其面积分布均匀，则面密度为 $\sigma ={\displaystyle \frac{W}{\frac{1}{2}bh}}$。

该三角形的边界可以表示为：

$$\begin{array}{rl}x& \in [0,b]\\ y& \in [0,\frac{h}{b}(b-x)]\end{array}$$

于是，

$$\begin{array}{rl}{x}_{\text{centroid}}& =\frac{{\displaystyle {\int }_{A}x\mathrm{d}m}}{{\displaystyle {\int }_A\mathrm{d}m}}\\ & =\frac{{\displaystyle {\int }_{A}x\mathrm{d}(\sigma A)}}{{\displaystyle {\int }_A\mathrm{d}(\sigma A)}}\\ & =\frac{\bcancel{\sigma }{\displaystyle {\int }_{A}x\mathrm{dA}}}{\bcancel{\sigma }{\displaystyle {\int }_A\mathrm{d}A}}\\ & =\frac{{\displaystyle {\int }_{x=0}^{x=b}{\int }_{y=0}^{y=\frac{h}{b}(b-x)}x\mathrm{d}y\mathrm{d}x}}{{\displaystyle {\int }_{x=0}^{x=b}{\int }_{y=0}^{y=\frac{h}{b}(b-x)}\mathrm{d}y\mathrm{d}x}}\end{array}$$

同理，

$$y_{\text{centroid}}=\frac{{\displaystyle {\int }_{x=0}^{x=b}{\int }_{y=0}^{y=\frac{h}{b}(b-x)}y\mathrm{d}y\mathrm{d}x}}{{\displaystyle {\int }_{x=0}^{x=b}{\int }_{y=0}^{y=\frac{h}{b}(b-x)}\mathrm{d}y\mathrm{d}x}}$$

因此，此三角形的质心坐标为 (${\displaystyle \frac{b}{3}}$, ${\displaystyle \frac{h}{3}}$)。

Example 9.4

Locate the centroid of the area of a quarter circle shown in Fig.9-11.

Solution

如图建系。假设该四分之一圆的重量为 $W$，半径为 $R$，并且其面积分布均匀，则面密度为 $\sigma ={\displaystyle \frac{W}{\frac{1}{4}\pi R^2}}$。

该四分之一圆的参数方程为：

$$\{\begin{array}{rl}x(\theta )& =r\cos \theta \\ y(\theta )& =r\sin \theta \\ \theta & \in [0,\frac{\pi }{2}]\\ r& \in [0,R]\end{array}$$

于是，

$$\begin{array}{rl}{x}_{\text{centroid}}& =\frac{{\displaystyle {\int }_{A}x\mathrm{d}m}}{{\displaystyle {\int }_A\mathrm{d}m}}\\ & =\frac{{\displaystyle {\int }_{r=0}^{r=R}{\int }_{\theta =0}^{\theta =\pi /2}(r\cos \theta )(r\mathrm{d}\theta )\mathrm{d}r}}{{\displaystyle {\int }_{r=0}^{r=R}{\int }_{\theta =0}^{\theta =\pi /2}(r\mathrm{d}\theta )\mathrm{d}r}}\\ & =\frac{{\displaystyle {\int }_0^R{\int }_0^{\pi /2}{r}^2\cos \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}r}}{{\displaystyle {\int }_0^R{\int }_0^{\pi /2}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r}}\end{array}$$

同理，

$$y_{\text{centroid}}=\frac{{\displaystyle {\int }_0^R{\int }_0^{\pi /2}{r}^2\sin \theta \mathrm{d}\theta \mathrm{d}r}}{{\displaystyle {\int }_0^R{\int }_0^{\pi /2}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r}}$$

因此，此四分之一圆的质心坐标为 $({\displaystyle \frac{4R}{3\pi }}$, ${\displaystyle \frac{4R}{3\pi })}$。

Example 9.5

Locate the centroid of the area of shown in Fig.9-12.

Solution

如图建系。

该图形的边界可以表示为：

$$\begin{array}{rl}x& \in [0,1]\\ y& \in [0,x^2]\end{array}$$

于是，

$$x_{\text{centroid}}=\frac{{\displaystyle {\int }_{x=0}^{x=1}{\int }_{y=0}^{y=x^2}x\mathrm{d}y\mathrm{d}x}}{{\displaystyle {\int }_{x=0}^{x=1}{\int }_{y=0}^{y=x^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x}}$$

同理，

$$y_{\text{centroid}}=\frac{{\displaystyle {\int }_{x=0}^{x=1}{\int }_{y=0}^{y=x^2}y\mathrm{d}y\mathrm{d}x}}{{\displaystyle {\int }_{x=0}^{x=1}{\int }_{y=0}^{y=x^2}\mathrm{d}y\mathrm{d}x}}$$

因此，此图形的质心坐标为 (${\displaystyle \frac{3}{4}}$, ${\displaystyle \frac{3}{10}}$)。

Example 9.6

Locate the centroid of the semi-elliptical area shown in Fig.9-13.

Solution

如图建系。

该半椭圆的边界可以表示为：

$$\begin{array}{rl}x& \in [-2,2]\\ y& \in [0,\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}]\end{array}$$

于是，

$$x_{\text{centroid}}=\frac{{\displaystyle {\int }_{x=-2}^{x=2}{\int }_{y=0}^{y=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}x\mathrm{d}y\mathrm{d}x}}{{\displaystyle {\int }_{x=-2}^{x=2}{\int }_{y=0}^{y=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}\mathrm{d}y\mathrm{d}x}}$$

同理，

$$y_{\text{centroid}}=\frac{{\displaystyle {\int }_{x=-2}^{x=2}{\int }_{y=0}^{y=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}y\mathrm{d}y\mathrm{d}x}}{{\displaystyle {\int }_{x=-2}^{x=2}{\int }_{y=0}^{y=\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}\mathrm{d}y\mathrm{d}x}}$$

因此，此半椭圆的质心坐标为 (0, ${\displaystyle \frac{4}{3\pi }}$)。

Example 9.7

Locate the $\bar{y}$ centroid of the paraboloid of revolution, shown in Fig.9-14.

Solution

如图建系。

该抛物体可以表示为：

$$V=\{(x,y,z)\in {\mathbb{R}}^3|x^2+z^2\le 100y,0\le y\le 100\}$$

圆柱坐标系下：

$$\{\begin{array}{ll}x=\rho \cos \theta ,& \rho \in [0,10\sqrt{y}]\\ z=\rho \sin \theta ,& \theta \in [0,2\pi ]\\ y=y,& y\in [0,100]\end{array}$$

体积积分单元：

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}V& =dxdydz\\ & =|det(J)|d\rho d\theta dy,\text{where }J=\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,y)}\\ det(J)& =det\left(\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,y)}\right)\\ & =det\left(\begin{array}{ccc}\frac{\partial x}{\partial \rho }& \frac{\partial x}{\partial \theta }& \frac{\partial x}{\partial y}\\ \frac{\partial y}{\partial \rho }& \frac{\partial y}{\partial \theta }& \frac{\partial y}{\partial y}\\ \frac{\partial z}{\partial \rho }& \frac{\partial z}{\partial \theta }& \frac{\partial z}{\partial y}\end{array}\right)\\ & =det\left(\begin{array}{ccc}\cos \theta & -\rho \sin \theta & 0\\ 0& 0& 1\\ \sin \theta & \rho \cos \theta & 0\end{array}\right)\\ & =-1\cdot \left|\begin{array}{cc}\cos \theta & -\rho \sin \theta \\ \sin \theta & \rho \cos \theta \end{array}\right|\\ & =-(\rho {\cos }^2\theta +\rho {\sin }^2\theta )\\ & =-\rho ({\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta )=-\rho \\ \text{Therefore, }\mathrm{d}V& =|det(J)|d\rho d\theta dy\\ & =|-\rho |d\rho d\theta dy\\ & =\rho d\rho d\theta dy\end{array}$$

于是，

$$y_{\text{centroid}}=\frac{{\displaystyle {\int }_{y=0}^{y=100}{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\int }_{\rho =0}^{\rho =10\sqrt{y}}y(\rho d\rho d\theta dy)}}{{\displaystyle {\int }_{y=0}^{y=100}{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\int }_{\rho =0}^{\rho =10\sqrt{y}}(\rho d\rho d\theta dy)}}$$

因此，此抛物体的质心坐标为 (0, 66.67, 0) mm。

Example 9.8

Determine the location of the center of mass of the cylinder shown in Fig.9-15 if its density varies directly with the distance from its base, i.e., $\rho =200z$ kg/m³.

Solution

如图建系。这是一个标准的圆柱体，底面半径 $R=0.5$ m，高 $h=1$ m。密度随高度变化， $\rho =200z$ kg/m³。

于是，

$$z_{\text{centroid}}=\frac{{\displaystyle {\int }_{z=0}^{z=1}{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\int }_{r=0}^{r=0.5}\rho z(rdrd\theta dz)}}{{\displaystyle {\int }_{z=0}^{z=1}{\int }_{\theta =0}^{\theta =2\pi }{\int }_{r=0}^{r=0.5}\rho (rdrd\theta dz)}}$$

因此，此圆柱体的重心坐标为 (0, 0, 0.667) m。

Problem 9.115

Solution