拉普拉斯变换应用

电路元件模型

电阻

对于电阻，根据欧姆定律，有：

$$v(t)=Ri(t)$$

对上式左右两边进行拉普拉斯变换，有：

$$\boxed{{\displaystyle V(s)=RI(s)}}$$

电感

对于电感，根据法拉第电磁感应定律，有：

$$v(t)=L\frac{\mathrm{d}i(t)}{\mathrm{d}t}$$

对上式左右两边进行拉普拉斯变换，有：

$$\boxed{{\displaystyle V(s)=L[sI(s)-i(0^{-})]=sLI(s)-Li(0^{-})}}$$

或：

$$\boxed{{\displaystyle I(s)=\frac{1}{sL}V(s)+\frac{i(0^{-})}{s}}}$$

电容

对于电容，根据电容的定义，有：

$$i(t)=C\frac{\mathrm{d}v(t)}{\mathrm{d}t}$$

对上式左右两边进行拉普拉斯变换，有：

$$\boxed{{\displaystyle I(s)=C[sV(s)-v(0^{-})]=sCV(s)-Cv(0^{-})}}$$

或：

$$\boxed{{\displaystyle V(s)=\frac{1}{sC}I(s)+\frac{v(0^{-})}{s}}}$$

小结

元件	阻抗	电压	电流
电阻	$R$	$V(s)=RI(s)$	$I(s)={\displaystyle \frac{1}{R}V(s)}$
电感	$sL$	$V(s)=sLI(s)-Li(0^{-})$	$I(s)={\displaystyle \frac{1}{sL}V(s)+{\displaystyle \frac{i(0^{-})}{s}}}$
电容	${\displaystyle \frac{1}{sC}}$	$V(s)={\displaystyle \frac{1}{sC}I(s)+{\displaystyle \frac{v(0^{-})}{s}}}$	$I(s)=sCV(s)-Cv(0^{-})$

传递函数

The transfer function H(s) is the ratio of the output response Y(s) to the input excitation X(s), assuming all initial conditions are zero.

$$\boxed{{\displaystyle H(s)=\frac{Y(s)}{X(s)}}}$$

传递函数取决于如何定义输入和输出。由于输入和输出可以是电路中任何位置的电流或电压，因此有四种可能的传递函数：

$$\begin{array}{r}H(s)=\text{Voltage gain}=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}\\ H(s)=\text{Current gain}=\frac{I_o(s)}{I_i(s)}\\ H(s)=\text{Impedance}=\frac{V(s)}{I(s)}\\ H(s)=\text{Admittance}=\frac{I(s)}{V(s)}\end{array}$$

状态变量

$$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{r}\dot{\mathbf{x}}\mathbf{(}\mathbf{t}\mathbf{)}=\mathbf{A}\mathbf{x}(t)+\mathbf{B}\mathbf{z}(t)\\ \mathbf{y}(t)=\mathbf{C}\mathbf{x}(t)+\mathbf{D}\mathbf{z}(t)\end{array}}}\begin{array}{r}(1)\\ (2)\end{array}$$

在电路分析的语境下，上述公式中的向量分别对应以下物理实体：

$\mathbf{x}(t)$ - 状态向量 (State Vector)

• 物理实体：电路中所有独立储能元件的变量。
• 具体对应：通常选为电容的电压 $v_C(t)$ 和电感的电流 $i_L(t)$。
• 原因：这两个量决定了电路当前的能量存储状态（$E=\frac{1}{2}C{v}^2$ 或 $E=\frac{1}{2}L{i}^2$），且根据物理定律不能突变，代表了系统的"记忆"。

$\mathbf{z}(t)$ - 输入向量 (Input Vector)

• 物理实体：电路中的独立激励源。
• 具体对应：独立电压源 $v_s(t)$ 和独立电流源 $i_s(t)$。
• 注意：受控源（如 VCVS）不属于输入向量，它们包含在系统矩阵 $\mathbf{A}$ 中。

$\mathbf{y}(t)$ - 输出向量 (Output Vector)

• 物理实体：你需要观测或求解的电路变量。
• 具体对应：可以是电路中任意位置的电压（如电阻上的电压 $v_R$）或电流（如流过某支路的电流）。
• 关系：它是状态变量（内部储能）和输入变量（外部激励）的线性组合。

$\dot{\mathbf{x}}(t)$ - 状态导数向量

• 物理实体：储能变量的变化率。
• 具体对应：对应电容电流的缩放值 ($\frac{i_C}{C}=\frac{d{v}_C}{dt}$) 和电感电压的缩放值 ($\frac{v_L}{L}=\frac{d{i}_L}{dt}$)。
• 意义：这正是建立 KCL/KVL 方程的目标项。

假设初始条件为零，对公式 (1) 进行拉普拉斯变换，有：

$$\begin{array}{rl}s\mathbf{X}(s)& =\mathbf{A}\mathbf{X}(s)+\mathbf{B}\mathbf{Z}(s)\\ (s\mathbf{I}-\mathbf{A})\mathbf{X}(s)& =\mathbf{B}\mathbf{Z}(s)\\ \mathbf{X}(s)& =(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{Z}(s)\end{array}$$

对公式 (2) 进行拉普拉斯变换，有：

$$\mathbf{Y}(s)=\mathbf{C}\mathbf{X}(s)+\mathbf{D}\mathbf{Z}(s)$$

于是，传递函数为：

$$\begin{array}{rl}\mathbf{H}(s)& =\frac{\mathbf{Y}(s)}{\mathbf{Z}(s)}\\ & =\frac{\mathbf{C}(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{Z}(s)+\mathbf{D}\mathbf{Z}(s)}{\mathbf{Z}(s)}\\ & =\mathbf{C}(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{B}+\mathbf{D}\end{array}$$

在大多数情况下，$\mathbf{D}=0$，于是有：

$$\boxed{{\displaystyle \mathbf{H}(s)=\mathbf{C}(s\mathbf{I}-\mathbf{A}{)}^{-1}\mathbf{B}}}$$