傅里叶级数

三角傅里叶级数

Trigonometric Fourier Series

对于周期函数

$$f(t)=f(t+nT)$$

其傅里叶级数形式为

$$f(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos n{\omega }_{0}t+b_n\sin n{\omega }_{0}t)$$

其中

• ${\omega }_0=\frac{2\pi }{T}$: The fundamental angular frequency.

• $\sin n{\omega }_{0}t$ or $\cos n{\omega }_{0}t$: The n-th harmonic of f(t).

• $a_n$ and $b_n$: The Fourier coefficients.

• $a_0$: The dc component or the average value of f(t).

The Fourier series of a periodic function f(t) is a representation that resolves f(t) into a dc component and an ac component comprising an infinite series of harmonic sinusoids.

狄利克雷条件

Dirichlet Conditions

1. 单值性 (Single-valued)：在任意时刻 t，函数 f(t) 只能有一个值。

   • 物理意义：现实世界中的电压不可能在同一瞬间既是 5V 又是 10V。

2. 绝对可积性 (Absolutely integrable)：在一个周期内，函数的绝对值积分必须是有限的：

   $${\int }_{t_0}^{t_0+T}|f(t)|\mathrm{d}t<\mathrm{\infty }$$
   • 物理意义：这意味着信号在一个周期内的面积是有限的。如果一个电压信号无穷大（像 $\frac{1}{t}$ 在 $t=0$ 处那样），它就无法展开为傅里叶级数。

3. 有限个有限间断点 (Finite number of finite discontinuities)：在一个周期内，不连续点（跳变点）的数量必须是有限的，且每个断点的跳变幅度必须是有限的。

   • 例子：像方波、锯齿波这样有“悬崖”波形的函数。

4. 有限个极大值和极小值 (Finite number of maxima and minima)：在一个周期内，波峰和波谷的数量必须是有限的。

   • 反例：函数 $\sin (1/t)$ 在 $t\to 0$ 时会发生无穷次震荡，因此它无法展开为傅里叶级数。

三角函数工具

这部分记录一些三角函数工具，在推导傅里叶级数系数时可能会用到。

三角函数的正交性

Orthogonality of Trigonometric Functions

1. 单个正弦或余弦的积分

$${\int }_0^T\cos n{\omega }_{0}t\mathrm{d}t=0$$$${\int }_0^T\sin n{\omega }_{0}t\mathrm{d}t=0$$

2. 不同类型的函数相乘

$${\int }_0^T\cos n{\omega }_{0}t\sin m{\omega }_{0}t\mathrm{d}t=0$$

3. 同类型函数相乘

$${\int }_0^T\cos n{\omega }_{0}t\cos m{\omega }_{0}tdt=\{\begin{array}{ll}0,& \text{if }n\ne m\\ {\displaystyle \frac{T}{2},}& \text{if }n=m\end{array}$$$${\int }_0^T\sin n{\omega }_{0}t\sin m{\omega }_{0}tdt=\{\begin{array}{ll}0,& \text{if }n\ne m\\ {\displaystyle \frac{T}{2},}& \text{if }n=m\end{array}$$

三角函数的积分

$$\begin{array}{rl}& \int \cos at\mathrm{d}t=\frac{1}{a}\sin at\\ & \int \sin at\mathrm{d}t=-\frac{1}{a}\cos at\\ & \int t\cos at\mathrm{d}t=\frac{1}{a^2}\cos at+\frac{1}{a}t\sin at\\ & \int t\sin at\mathrm{d}t=\frac{1}{a^2}\sin at-\frac{1}{a}t\cos at\end{array}$$

三角函数的取值

$$\begin{array}{|ll|}\hline \mathbf{\text{Function}}& \mathbf{\text{Value}}\\ \cos 2n\pi & 1\\ \sin 2n\pi & 0\\ \cos n\pi & (-1{)}^n\\ \sin n\pi & 0\\ \cos \frac{n\pi }{2}& \{\begin{array}{ll}(-1{)}^{n/2},& n\text{ is even}\\ 0,& n\text{ is odd}\end{array}\\ \sin \frac{n\pi }{2}& \{\begin{array}{ll}(-1{)}^{(n-1)/2},& n\text{ is odd}\\ 0,& n\text{ is even}\end{array}\\ e^{j2n\pi }& 1\\ e^{jn\pi }& (-1{)}^n\\ e^{jn\pi /2}& \{\begin{array}{ll}(-1{)}^{n/2},& n\text{ is even}\\ j(-1{)}^{(n-1)/2},& n\text{ is odd}\end{array}\\ \hline\end{array}$$

傅里叶分析

Fourier Analysis

确定系数 $a_0$, $a_n$, $b_n$ 的过程称为傅里叶分析。

$$a_0=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)\mathrm{d}t$$

推导过程

为了得到系数 $a_0$，我们对傅里叶级数两边同时对 $t$ 从 $0$ 到 $T$ 积分

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{T}f(t)\mathrm{d}t& ={\int }_0^T[a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos n{\omega }_{0}t+b_n\sin n{\omega }_{0}t)]\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^T{a}_0\mathrm{d}t+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^T(a_n\cos n{\omega }_{0}t+b_n\sin n{\omega }_{0}t)\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^T{a}_0\mathrm{d}t+0\\ & =a_{0}T\end{array}$$

于是有

$$a_0=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)\mathrm{d}t$$

---

$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cos n{\omega }_{0}t\mathrm{d}t$$

推导过程

为了得到 $a_n$，我们首先对傅里叶级数两边同时乘以 $\cos m{\omega }_{0}t$，然后对 $t$ 从 $0$ 到 $T$ 积分。因此有

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^{T}f(t)\cos m{\omega }_{0}t\mathrm{d}t& ={\int }_0^T[a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n\cos n{\omega }_{0}t+b_n\sin n{\omega }_{0}t)]\cos m{\omega }_{0}t\mathrm{d}t\\ & ={\int }_0^T{a}_0\cos m{\omega }_{0}t\mathrm{d}t+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}({\int }_0^T{a}_n\cos n{\omega }_{0}t\cos m{\omega }_{0}t\mathrm{d}t\\ & \phantom{=}+{\int }_0^T{b}_n\sin n{\omega }_{0}t\cos m{\omega }_{0}t\mathrm{d}t)\\ & =\{\begin{array}{ll}0,& n\ne m\\ {\displaystyle {\int }_0^T{a}_n\cos n{\omega }_{0}t\cos n{\omega }_{0}t\mathrm{d}t=a_n\frac{T}{2},}& n=m\end{array}\end{array}$$

于是有

$$a_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\cos n{\omega }_{0}t\mathrm{d}t$$

---

$$b_n=\frac{2}{T}{\int }_0^{T}f(t)\sin n{\omega }_{0}t\mathrm{d}t$$

推导过程

$b_n$ 的推导过程与 $a_n$ 类似，这里不再赘述。

---

幅值相位形式

如果将傅里叶级数展开表达为幅值相位 (amplitude-phase) 形式

$$f(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\varphi }_n)$$

则有

$$A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},{\varphi }_n=-{\tan }^{-1}\frac{b_n}{a_n}$$

推导过程

将 amplitude-phase 形式展开

$$\begin{array}{rl}f(t)& =a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\varphi }_n)\\ & =a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n(\cos n{\omega }_{0}t\cos {\varphi }_n-\sin n{\omega }_{0}t\sin {\varphi }_n)\\ & =a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(A_n\cos {\varphi }_n\cos n{\omega }_{0}t-A_n\sin {\varphi }_n\sin n{\omega }_{0}t)\end{array}$$

显然

$$A_n\cos {\varphi }_n=a_n,-A_n\sin {\varphi }_n=b_n$$

于是有

$$A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},{\varphi }_n=-{\tan }^{-1}\frac{b_n}{a_n}$$

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对称性分析

偶函数

满足以下条件的函数称为偶函数

$$f(t)=f(-t)$$

偶函数有一个重要的性质

$${\int }_{-T/2}^{T/2}{f}_e(t)\mathrm{d}t=2{\int }_0^{T/2}{f}_e(t)\mathrm{d}t$$

利用偶函数的这个性质，傅里叶级数的系数可以表示为

$$\begin{array}{rl}& a_0=\frac{2}{T}{\int }_0^{T/2}f(t)\mathrm{d}t\\ & a_n=\frac{4}{T}{\int }_0^{T/2}f(t)\cos n{\omega }_{0}t\mathrm{d}t\\ & b_n=0\end{array}$$

奇函数

满足以下条件的函数称为奇函数

$$f(-t)=-f(t)$$

奇函数有一个重要的性质

$${\int }_{-T/2}^{T/2}{f}_o(t)\mathrm{d}t=0$$

利用奇函数的这个性质，傅里叶级数的系数可以表示为

$$\begin{array}{rl}& a_0=0\\ & a_n=0\\ & b_n=\frac{4}{T}{\int }_0^{T/2}f(t)\sin n{\omega }_{0}t\mathrm{d}t\end{array}$$

半波对称性

Half-Wave Symmetry

满足以下条件的函数称为半波对称性

$$f(t-\frac{T}{2})=-f(t)$$

它的傅里叶系数为

$$\begin{array}{rl}& a_0=0\\ & a_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{4}{T}{\int }_0^{T/2}f(t)\cos n{\omega }_{0}t\mathrm{d}t,}& n\text{ is odd}\\ 0,& n\text{ is even}\end{array}\\ & b_n=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{4}{T}{\int }_0^{T/2}f(t)\sin n{\omega }_{0}t\mathrm{d}t,}& n\text{ is odd}\\ 0,& n\text{ is even}\end{array}\end{array}$$

电路应用

Circuit Applications

如图所示。该电路中的周期性独立电压源，其傅里叶级数的幅值相位形式为

$$v(t)=V_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)$$

（对于周期性独立电流源也可以进行同样的分析。）上述方程表明，直流分量 $V_0$ 和具有多个谐波的交流分量 ${\mathbf{V}}_n=V_n\mathrm{\angle }{\theta }_n$ 共同构成了电压 $v(t)$。这种傅里叶级数表示可以看作是一组串联的激励源，每个激励源都有自己的幅值和相位。

不同的谐波对应的阻抗也不一样。这里采用 $\mathbf{Z}(n{\omega }_0)$ 来表示第 $n$ 个谐波对应的阻抗。当 $n=0$ 时，代表的是直流分量对应的阻抗。

于是便可以使用叠加定律来求解电路。

$$\begin{array}{rl}i(t)& =i_0(t)+i_1(t)+i_2(t)+\cdots \\ & ={\mathbf{I}}_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|{\mathbf{I}}_n|\cos (n{\omega }_{0}t+{\psi }_n)\end{array}$$

功率分析

平均功率

如果

$$\begin{array}{rl}v(t)& =V_{\text{dc}}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)\\ i(t)& =I_{\text{dc}}+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_m\cos (m{\omega }_{0}t+{\varphi }_m)\end{array}$$

那么

$$P=V_{\text{dc}}{I}_{\text{dc}}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_n{I}_n\cos ({\theta }_n-{\varphi }_n)$$

推导过程

$$\begin{array}{rl}P& =\frac{1}{T}{\int }_0^{T}v(t)i(t)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{T}{\int }_0^T(V_{\text{dc}}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\theta }_n))(I_{\text{dc}}+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{I}_m\cos (m{\omega }_{0}t+{\varphi }_m))\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{T}{\int }_0^T[V_{\text{dc}}{I}_{\text{dc}}+\text{交叉项}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_n{I}_m\cos (n{\omega }_{0}t+{\theta }_n)\cos (m{\omega }_{0}t+{\varphi }_m)]\mathrm{d}t\\ & =V_{\text{dc}}{I}_{\text{dc}}+\frac{1}{T}{\int }_0^T\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{V_n{I}_m}{2}[\cos ((n-m){\omega }_{0}t+{\theta }_n-{\varphi }_m)+\cos ((n+m){\omega }_{0}t+{\theta }_n+{\varphi }_m)]\mathrm{d}t\\ & =V_{\text{dc}}{I}_{\text{dc}}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{V_n{I}_m}{2T}[{\int }_0^T\cos ((n-m){\omega }_{0}t+{\theta }_n-{\varphi }_m)\mathrm{d}t+0]\\ & =V_{\text{dc}}{I}_{\text{dc}}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{V_n{I}_n}{2T}{\int }_0^T\cos ({\theta }_n-{\varphi }_n)\mathrm{d}t(\text{利用正交性，仅 }n=m\text{ 时积分非零})\\ & =V_{\text{dc}}{I}_{\text{dc}}+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{V_n{I}_n}{2T}\cdot T\cos ({\theta }_n-{\varphi }_n)\\ & =V_{\text{dc}}{I}_{\text{dc}}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{V}_n{I}_n\cos ({\theta }_n-{\varphi }_n)\end{array}$$

---

RMS 值

对于周期函数 $f(t)$，其 RMS 值定义为

$$F_{\text{rms}}=\sqrt{\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t{)}^2\mathrm{d}t}$$

如果

$$f(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\varphi }_n)$$

那么

$$F_{\text{rms}}^2=a_0^2+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)$$

或

$$F_{\text{rms}}=\sqrt{a_0^2+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)}$$

并且规定 1 欧姆电阻耗散的功率为

$$P_{1\mathrm{\Omega }}=F_{\text{rms}}^2=a_0^2+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)$$

上式也被称作 Parseval's Theorem。该定理指出，周期信号的平均功率是其直流分量的平均功率与其各谐波分量平均功率之和。

推导过程

将 $f(t)$ 的傅里叶级数的幅值相位形式 $f(t)=a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\varphi }_n)$ 代入 RMS 值的定义式（取平方形式以便计算），得到：

$$F_{\text{rms}}^2=\frac{1}{T}{\int }_0^T{[a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\varphi }_n)]}^2\mathrm{d}t$$

展开平方项 ${(a+b)}^2=a^2+2ab+b^2$，被积函数包含三部分：

1. 直流分量的平方：$a_0^2$
2. 交叉项（直流与交流）：$2a_0\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\varphi }_n)$
3. 交流分量的平方：${[\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\varphi }_n)]}^2$

将积分拆解为三部分分别计算：

$$\begin{array}{rl}{F}_{\text{rms}}^2& =\underset{\text{① 直流项}}{\underbrace{\frac{1}{T}{\int }_0^T{a}_0^2\mathrm{d}t}}+\underset{\text{② 交叉项 (直流}\times \text{交流)}}{\underbrace{\frac{1}{T}{\int }_0^{T}2a_0\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\varphi }_n)\mathrm{d}t}}\\ & +\underset{\text{③ 交流平方项}}{\underbrace{\frac{1}{T}{\int }_0^T{[\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\cos (n{\omega }_{0}t+{\varphi }_n)]}^2\mathrm{d}t}}\end{array}$$

逐项积分：

• 第 ① 项：常数的积分

  $$\frac{1}{T}\cdot a_0^2\cdot T=a_0^2$$

• 第 ② 项：正弦/余弦函数在一个周期内的积分为 0

  $$\frac{2a_0}{T}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n\underset{0}{\underbrace{{\int }_0^T\cos (n{\omega }_{0}t+{\varphi }_n)\mathrm{d}t}}=0$$

• 第 ③ 项：展开后包含自乘项（$n=m$）和互乘项（$n\ne m$）。根据三角函数的正交性，互乘项积分为 0，仅保留自乘项：

  $$\begin{array}{rl}\text{项 ③}& =\frac{1}{T}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\int }_0^T{A}_n^2{\cos }^2(n{\omega }_{0}t+{\varphi }_n)\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{T}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{A}_n^2{\int }_0^T\frac{1+\cos (2n{\omega }_{0}t+2{\varphi }_n)}{2}\mathrm{d}t\\ & =\frac{1}{T}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{A_n^2}{2}[{\int }_0^{T}1\mathrm{d}t+\underset{0}{\underbrace{{\int }_0^T\cos (\dots )\mathrm{d}t}}]\\ & =\frac{1}{T}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{A_n^2}{2}\cdot T=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{A_n^2}{2}\end{array}$$

合并结果：

$$F_{\text{rms}}^2=a_0^2+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{A_n^2}{2}$$

又因为幅值 $A_n$ 与傅里叶系数 $a_n,b_n$ 的关系为 $A_n^2=a_n^2+b_n^2$，代入上式得：

$$F_{\text{rms}}^2=a_0^2+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(a_n^2+b_n^2)$$

---

指数傅里叶级数

Exponential Fourier Series

根据欧拉公式 $e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$，可以得到

$$\begin{array}{rl}& \cos n{\omega }_{0}t=\frac{1}{2}(e^{jn{\omega }_{0}t}+e^{-jn{\omega }_{0}t})\\ & \sin n{\omega }_{0}t=\frac{1}{2j}(e^{jn{\omega }_{0}t}-e^{-jn{\omega }_{0}t})\end{array}$$

对三角傅里叶级数使用应用欧拉公式，可以得到

$$\begin{array}{rl}f(t)& =a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\cos (n{\omega }_{0}t)+b_n\sin (n{\omega }_{0}t)\\ & =a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n\frac{1}{2}(e^{jn{\omega }_{0}t}+e^{-jn{\omega }_{0}t})+b_n\frac{1}{2j}(e^{jn{\omega }_{0}t}-e^{-jn{\omega }_{0}t})\\ & =a_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n-j{b}_n}{2}{e}^{jn{\omega }_{0}t}+\frac{a_n+j{b}_n}{2}{e}^{-jn{\omega }_{0}t}\end{array}$$

在此可以定义新的系数 $c_n$ 使得

$$c_0=a_0,c_n=\frac{a_n-j{b}_n}{2},c_{-n}=c_n^{\ast }=\frac{a_n+j{b}_n}{2}$$

于是有

$$f(t)=c_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}+c_{-n}{e}^{-jn{\omega }_{0}t}$$

或

$$f(t)=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{e}^{jn{\omega }_{0}t}$$

并且 $c_n$ 也可以表示为

$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}\mathrm{d}t$$

c_n 的推导过程

假设 $f(t)$ 可以展开为指数傅里叶级数：

$$f(t)=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_m{e}^{jm{\omega }_{0}t}$$

（注：为了避免混淆，此处求和下标使用 $m$，而将我们要计算的目标系数设为 $n$）

第一步：构造等式 为了将 $c_n$ 提取出来，我们在等式两边同时乘以复指数项 $e^{-jn{\omega }_{0}t}$：

$$f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}=\left(\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_m{e}^{jm{\omega }_{0}t}\right)e^{-jn{\omega }_{0}t}$$

第二步：对周期 T 积分 对等式两边在区间 $[0,T]$ 上进行积分：

$${\int }_0^{T}f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}\mathrm{d}t={\int }_0^T\left(\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_m{e}^{jm{\omega }_{0}t}\right)e^{-jn{\omega }_{0}t}\mathrm{d}t$$

第三步：交换积分与求和顺序 假定级数收敛，我们可以将右边的积分符号移入求和符号内部，并合并指数项：

$${\int }_0^{T}f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}\mathrm{d}t=\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{c}_m\left[{\int }_0^T{e}^{j(m-n){\omega }_{0}t}\mathrm{d}t\right]$$

第四步：利用复指数函数的正交性 考察中括号内的积分项 $I={\int }_0^T{e}^{j(m-n){\omega }_{0}t}\mathrm{d}t$：

• 当 $m\ne n$ 时：$m-n$ 为非零整数，在一个完整周期内积分复指数函数（旋转向量），结果为零。
• 当 $m=n$ 时：被积函数变为 $e^0=1$。积分结果为 ${\int }_0^{T}1\mathrm{d}t=T$。

因此，无穷求和中除了 $m=n$ 这一项，其余所有项均为 0：

$${\int }_0^{T}f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}\mathrm{d}t=c_n\cdot T$$

第五步：求解 移项即可得到系数公式：

$$c_n=\frac{1}{T}{\int }_0^{T}f(t)e^{-jn{\omega }_{0}t}\mathrm{d}t$$

---

系数关系

傅里叶级数三个形式（三角、指数、幅值相位）的系数之间存在如下关系：

$$A_n\mathrm{\angle }{\varphi }_n=a_n-j{b}_n=2c_n$$

RMS 值

$$F_{\text{rms}}^2=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2$$$$F_{\text{rms}}=\sqrt{\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2}$$$$F_{\text{rms}}^2=|c_0{|}^2+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2$$$$P_{1\mathrm{\Omega }}=F_{\text{rms}}^2=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}|c_n{|}^2$$