质点运动学

质点的运动学方程组

运动学的研究通常从质点的运动开始。所谓质点，是指在分析一个物体的运动时，如果其形状、尺寸和转动对结果的影响可以忽略不计，就可以将该物体简化为一个点来研究。描述质点的状态，仅需确定其位置信息即可。

在一个运动系统中，基本的运动学量包括：位置、速度、加速度和时间。通常，位置是时间的函数；速度是位置对时间的一阶导数；加速度是速度对时间的一阶导数，即位置对时间的二阶导数。这些量之间的关系可以表示如下：

位置 $\mathbf{x}$	速度 $\mathbf{v}$	加速度 $\mathbf{a}$	时间 $t$
$\mathbf{x}(t)$	$\dot{\mathbf{x}}(t)$	$\ddot{\mathbf{x}}(t)$	$t$

质点的运动学问题可以由以下方程组统一描述：

$$\{\begin{array}{rl}\mathbf{x}& =\mathbf{x}(t)\\ \mathbf{v}& =\frac{\mathrm{d}\mathbf{x}}{\mathrm{d}t}=\dot{\mathbf{x}}(t)\\ \mathbf{a}& =\frac{{\mathrm{d}}^2\mathbf{x}}{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}=\ddot{\mathbf{x}}(t)\end{array}$$

以上方程组也被称为质点的运动学方程组。

质点的角运动学方程组

在描述质点的转动运动时，常使用另一组基本的运动量：角度、角速度、角加速度和时间。这些物理量之间的关系可以用如下形式表示：

注意：与位置不同，角度通常表示为标量，而非矢量。

角度 $\theta$	角速度 $\omega$	角加速度 $\alpha$	时间 $t$
$\theta (t)$	$\dot{\theta }(t)$	$\ddot{\theta }(t)$	$t$

同样地，质点的角运动学关系可以写成以下形式：

$$\{\begin{array}{rl}\theta & =\theta (t)\\ \omega & =\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}=\dot{\theta }(t)\\ \alpha & =\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{t}^2}=\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}=\ddot{\theta }(t)\end{array}$$

以上方程组也被称为质点的角运动学方程组。

示例

匀速直线运动

Uniform Linear Motion.

$$x=vt$$

自由落体定律

The law of free fall.

The law of free fall—i.e., a body in free fall from rest traverses a distance proportional to the square of the time elapsed—was discovered by Galileo through the inclined plane experiments.

自由落体定律，即一个从静止状态自由下落的物体所经过的距离与经过的时间的平方成正比，是伽利略通过倾斜平面的实验发现的。

—— 摘自 伽利略 —— 斯坦福哲学百科全书

设物体的下落高度为 $y$，下落时间为 $t$，则有：

$$\begin{array}{rl}y& \propto t^2\\ y& =\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}$$

抛体的抛物线运动

Parabolic Motion of Projectiles.

当一个物体以初速度 $v_0$ 水平抛出时，其运动可以分为两个相互独立的方向进行分析：

• 水平方向：物体做匀速直线运动 —— $x=v_{0}t$。

• 垂直方向：物体做自由落体运动 —— $y=\frac{1}{2}g{t}^2$。

于是，物体的运动轨迹为一条抛物线：

$$y=\frac{g}{2v_0^2}{x}^2$$

匀速圆周运动

Uniform Circular Motion.

在匀速圆周运动中，角速度为常数 $\omega$，角加速度为零，经过的角度与时间成正比：

$$\{\begin{array}{rl}\theta (t)& ={\theta }_0+\omega t\\ \omega (t)& =\omega =\text{常数}\\ \alpha (t)& =0\end{array}$$